基于FDTD方法的垂直接地体冲击时-频特性分析

陶玉郎，冯建伟，张其林，申 元，侯文豪，姜 苏，4，王梦寒

（1.南京信息工程大学气象灾害教育部重点实验室/气候与环境变化国际合作联合实验室/气象灾害预报预警与评估协同创新中心/中国气象局气溶胶与云降水重点开放实验室，南京210044；2.苏州市气象局，江苏苏州，215000；3.云南电网有限责任公司电力科学研究院，昆明650217；4.贵州省电力设计研究院，贵阳550000）

0 引言

接地装置是故障电流和雷击电流的泄流通道，其在冲击电流下的散流能力决定了接地装置的防雷保护水平[1]。因此，准确地研究接地装置的冲击特性是合理设计防雷性能的基础，而接地体冲击散流过程中的土壤非线性击穿现象则是准确分析接地装置冲击特性的关键因素[1-2]。在冲击电流向土壤泄放时，高幅值的雷电流使得土壤中电流密度增大，因而增大了土壤电场强度，超过了土壤临界击穿场强，使接地体周围土壤电阻率大大降低，使其变成了良导体，故降低了接地装置的冲击阻抗，而接地体的长度，注入电流幅值等因素都要影响接地装置的冲击阻抗。同时由于雷电流高频率的特点，接地体在雷电流作用下会呈现出与工频条件下不同的特性，主要表现在土壤的“趋肤效应”，其会阻碍雷电流向接地体远端流散，积聚在土壤表层，离地面越远，电流密度越小[2]，大大影响了接地体的冲击散流特性，因此，十分有必要研究接地体的时-频冲击特性。

目前，国内外研究接地体雷电冲击特性的方法主要有冲击接地试验[3-8]和数值模拟。冲击接地试验接近于实际情况，所得结果直观，但耗费成本较高，而数值模拟可方便地改变接地体参数，分析其冲击特性。数值模拟方法主要包括：1）基于电路理论[9-12]的数值计算方法；2）基于传输线理论[13-17]的方法；3）基于电磁场理论[18-21]的方法。其中电路理论方法和传输线理论方法在处理土壤非线性击穿效应时没有考虑击穿效应的不均匀性和时变性，并且对于复杂的接地网结构，散流过程中的电路参数计算过于复杂。而电磁场理论的方法是计算结果最精确的一种方法，基于电磁场理论的方法分为积分方程法和微分方程法两类，包括了有限元法（FEM）[22-24]，时域有限差分方法（FDTD）等数值计算方法，其中时域有限差分（FDTD）算法直接基于麦克斯韦方程组进行计算，可以精确迭代和求解空间任意位置的电磁场，该方法已经广泛运用于分析求解很多的电磁场问题，同时也可以方便地考虑土壤的非线性特性，土壤特性，地网结构和注入电流特征等各因素的影响[25-26]，因此FDTD方法十分适合于接地体的冲击特性分析。

综上所述笔者将从麦克斯韦微分方程出发，采用FDTD数值分析方法，在考虑了土壤非线性击穿现象的基础上建立垂直接地体计算模型，于时域内研究不同接地体长度和不同电流幅值对垂直接地体冲击特性的影响，于频域内研究垂直接地体在不同正弦电流频率下的冲击特性。

1 模型及算法介绍

1.1 垂直接地体计算模型

基于时域有限差分法的垂直接地体仿真模型[27]如图1所示，激励电流源从中心引下线上方注入接地体，电流经过垂直接地体散流到土壤，然后电流流入4根辅助电极经过连接导线回到激励源处，形成一个完整的电流泄放通道，4根辅助电极主要作用是在土壤中建立电流泄放回路。整个模拟空间分为上下两个部分，上为空气，下为土壤，在模拟空间边界处设置吸收边界UPML，激励电流源采用双指数型电流源8/20μs。整个计算域中的导体（包括垂直接地体、连接导线和辅助电极）都采用细导线技术等效方法。

1.2 土壤非线性击穿模型

采用基于Liew和Darveniza（1974）提出的土壤非线性击穿模型[28-29]，在该模型中，当电场强度还未达到临界击穿强度Ec时，土壤电阻率为恒定值ρ0；当电场强度达到临界击穿场强Ec时，土壤开始电离击穿，土壤电阻率ρ逐步减小，呈现非线性变化；但随着时间的增加，电场强度开始减小，当小于临界击穿场强Ec时，土壤电阻率ρ增加，呈现非线性变化。见图2。

图1 接地体计算模型示意图Fig.1 Calculation model of grounding electrodes

图2 土壤非线性击穿模型Fig.2 Soil nonlinear breakdown model

1）恒定过程：当土壤中的电场强度E还未达到击穿电场强度Ec时，土壤电阻率ρ等于一个恒定值ρ0。

式中：ρ0是低频下测得的土壤电阻率值。

2）电离过程：当土壤中的电场强度E大于了击穿电场强度Ec时，土壤电阻率ρ随着时间增加而减小：

式中：τ1是电离时间常数，随着时间增加电阻率减小的过程代表了土壤电离过程。

3）去电离过程：当在电离区域土壤中的电场强度E小于了击穿电场强度Ec时，土壤电阻率ρ随着时间增加而增加：

式中：ρi是电离过程中的电阻率最小值，τ2是去电离时间常数，随着时间增加而电阻率从ρi增加到ρ0的过程代表了土壤的去电离过程。

1.3 接地体的FDTD算法介绍

1.3.1 接地体散流过程的物理方程

冲击电流经接地体向土壤中流散时，它们在空间的分布随时间的变化而变化，整个场域的电场和磁场都具有时变场的特征，即变化的电场产生磁场，变化的磁场产生电场。所以在建立接地体计算模型时，土壤中的位移电流不可忽略，变化的磁场所激励的感应电场也不可忽略[30]。因此在土壤中，根据电磁场理论，全电流定律和电磁感应定律等定律可以完整表述整个散流过程中的电磁场分布规律，描述如下：

式中：H为磁场强度，D为电位移矢量，E为电场强度，B为磁感应强度，ε为介电常数，μ为磁导率。

1.3.2 基于微分形式的FDTD方程

FDTD方法是由微分形式的麦克斯韦旋度方程出发进行差分离散从而得到一组时域推进方程[31]，它的主要思想是首先用有限差分来近似麦克斯韦方程中的空间和时间导数，其次构造一组方程，以前一时间步瞬时场值来计算后一时间步的瞬时场值，由此来构造时间向前推进的算法，以模拟电磁场在时域的进程。因此上述式（4-7）微分形式的麦克斯韦方程在直角坐标系下可表示为

然后根据时域有限差分法（FDTD）的差分离散，可从上面6个等式得到电场和磁场的时间推进公式。然后根据电场和磁场随时间的推进公式，可以求得其它分量。

1.3.3 接地导体及连接导体的细导线处理技术

在该计算模型中，所有接地导体及连接导体均为线状，且由于其半径远小于网格尺度（即r＜＜ds，ds为使用的网格边长），故笔者将接地导体及连接导体作为细导线处理[32-34]。

由于接地导体处于土壤中，而土壤为有耗介质，故模型中的接地导体采用Yoshihiro Baba等人[34]提出的在有耗介质中导体的细导线处理方案。该细导线方案要求将导线所在位置处的电场分量设置为0，然后根据导线实际半径来修正导线附近的介质电参数，从而实现细导线处的电磁场传播的模拟。设置为0。另外引入修正的相对磁导率以计算导线的环绕磁场分量Hx、Hz以及轴向磁场分量Hy；引入修正的相对介电常数和电导率σ'以计算导线的电场分量和σ'的表达式如下：

图3 沿y轴方向布置的细导线及周围电磁场分量的构成Fig.3 Thin wire set along y-axis and configuration of adjacent electric and magnetic fields

式中：μr、σmax是导线附近原来的土壤介质相对导磁系数和相对介电常数，空气中两者均为1。为模型导线的等效半径，a为导体的实际半径。

由于连接导体处于空气中，而空气为无耗介质，故本文模型中的连接导体采用Taku Noda等人[33]提出的在无耗介质中导体的细导线处理方案，该方案中，只引入修正的相对磁导率和相对介电常数无需引入修正的电导率σ'。

2 模拟结果分析

2.1 算法验证

笔者选取了G.Ala等人[27]给出的接地案例进行了计算，对本文中的算法进行了验证。基本计算参数是：土壤相对介电常数8，土壤临界击穿场强Ec=110 kV/m，垂直接地极长度为0.61 m，土壤低频电导率为0.02 S/m，激励电流源波形为7.5/16 μs。模拟空间大小4.88 m×4.88 m×2.44 m，时间步长0.1 ns。与G.Ala等人文章中的结果对比，验证了笔者算法的可靠性，比较结果如图4所示。笔者研究内容是利用Matlab软件进行编程的，程序流程图如图5所示。

图4 暂态地电位升的对比结果Fig.4 Comparison results of transient ground potential rise

图5 本文算法程序流程图Fig.5 The flow chart of the algorithm program of the paper

2.2 时域特性分析

以单根垂直接地体为研究对象，在考虑了土壤非线性击穿效应的情况下，从电场强度、电导率分布，最大暂态地电位升，暂态冲击阻抗等角度研究不同接地体长度和电流强度对垂直接地体的时域冲击特性的影响。

2.2.1 接地体长度对时域冲击特性的影响

采用的具体参数是：土壤电导率0.02 S/m，相对介电常数8，电流波形8/20μs，电流幅值30 kA，模拟空间大小8.4 m×8.4 m×6 m，垂直接地极长度L为0.6 m，1.2 m和2 m。

从图6（（a），（d），（g）中可以看出，当接地体长度为0.6 m，电场强度基本呈现均匀分布状态，而当接地体长度分别为1.2 m和2 m，如图6（b），（e），（h）和（c），（f），（i）所示，垂直接地体末端电场强度呈现不均匀分布状态，尤其是当接地体长度为2 m时不均匀分布状态程度更为显著。这是因为随着接地体长度的增加，感抗增大，并且垂直接地体端部散流区域更大，冲击电流更易于从端部泄放电流，故使得散流更加趋向不均匀，加剧了电场强度分布不均匀的程度。

图6 不同接地体长度下的瞬态电场强度仿真结果Fig.6 The simulation results of electric field strength in different length of grounding electrode

从图7（j），（k），（l）可以看出，接地体长度较小时，土壤的横向击穿区域较大，纵向击穿区域较小；而当接地体长度较大时，土壤的横向击穿区域较小，纵向击穿区域较大。从图7（j），（k），（l）和（m），（n），（o）可看出，随着电流逐渐向土壤中流散，接地体长度越短，接地体注入点附近电离区域仍较大，散流性能越差，接地体长度越长，接地体注入点附近电离区域明显减小，电流集中到末端离散，电离区域较大，散流性能越好。分析认为雷电流一方面向接地极纵向传播，一方面向土壤泄放，当接地极长度较小时，其散流面积较小，故接地极周围土壤积聚大量电流，导致接地极附近较大区域土壤电场强度短时间内超过土壤临界击穿场强，因此土壤发生击穿，致使土壤横向击穿区域较大；而当接地体长度较大时，接地体的散流面积增加，加快了冲击电流的泄放，故接地极纵向周围较大区域的电场强度达到土壤临界击穿强度，因此土壤的横向击穿区域较小，纵向击穿区域较大。

图7 不同接地体长度下的电导率分布仿真结果Fig.7 The simulation results of electric conductivity distribution in different length of grounding electrode

图8 不同接地体长度下的最大暂态地电位升和暂态冲击阻抗时域波形图Fig.8 The time domain waveform of the maximum transient ground potential rise and transient impulse impedance in different length of grounding electrode

从图8中可以看出，接地体长度越长，最大暂态地电位升越小，暂态冲击阻抗越小，但当暂态冲击阻抗随接地体长度增加而减小具有饱和趋势。分析认为，这是由于接地体长度的增加，一方面使得接地体的散流面积增加，加快了冲击电流的泄放，从而使电场强度减小，继而最大暂态地电位升减小，同时暂态冲击接地阻抗下降较快而且暂态冲击接地阻抗稳定值减小，但另一方面接地体长度的增加，使感抗增大，散流更加趋向不均匀，增加的接地体部分不能得到充分利用，两方面因素导致暂态冲击接地阻抗稳定值随接地体长度的增加而降低的趋势具有饱和趋势，即接地体在冲击电流作用下具有一定的有效长度[1]。

2.2.2 电流幅值对冲击特性的影响

采用的具体参数为：土壤电阻率50Ω·m，相对介电常数8，电流波形8/20μs，电流幅值1 kA，30 kA和100 kA，模拟空间大小8.4 m*8.4 m*6 m，垂直接地极长度为1.2 m。

从图9（a）至（c）中可以看出，同种冲击电流波形下电流幅值不同，接地极的冲击散流情况也不同。冲击电流幅值越大，电场强度也越大，接地体的末端效应越强，散流也越不均匀。分析认为当冲击波形，接地体长度等参数不变的情况下，电流幅值越大，土壤中电场强度越大，散流电流更易引起土壤非线性击穿，电离区域电阻率的下降促使了散流的不均匀性，并且由于垂直接地体末端散流空间较大，所以末端散流也较多，故引起了接地体的散流不均匀性。

从图9（d）至（f）中可以看出，同种冲击电流波形下电流幅值越大，接地体周围土壤的横向和纵向击穿区域也越大，即击穿程度越大。分析认为在冲击电流作用下接地体周围具有瞬变电场，当电场强度达到土壤的临界击穿电场时，土壤发生非线性击穿，这相当于增加了接地体的导体半径，当冲击电流幅值越大，在接地体周围土壤中产生的电场强度越大，土壤非线性击穿效应越显著，因而土壤电离区域更大。

图9 不同电流幅值下的电场强度和电导率分布仿真结果Fig.9 The simulation results of electric field strength and electric conductivity distribution in different current magnitudes

从图10中可以看出，同种冲击电流波形下电流幅值越大，最大暂态地电位升值也越大，暂态冲击阻抗越小，且达到冲击阻抗稳定值的时间也越长。分析认为，当电流幅值越大，土壤中的电场强度越大，根据电磁感应原理，注入点附近的电压也越大，即最大暂态地电位升越大。电流幅值越大，土壤中非线性击穿效应也越强，土壤击穿厚度越大，即相当于接地体的导体半径越大，使得土壤中从电解质变成导电性能良好的导电煤质的区域越大，所以暂态冲击阻抗值越小。

图10 不同电流幅值下的最大暂态地电位升和暂态冲击阻抗时域波形图Fig.10 The time domain waveform of the maximum transient ground potential rise and transient impulse impedance in different current magnitudes

2.2 频域特性分析

为了分析垂直接地体的频率特性，笔者仍采用图1提出的垂直接地体仿真模型和图2的土壤非线性击穿模型，然后从电场强度，电导率分布等角度研究垂直接地极在不同正弦电流频率下的特性。

采用的具体参数是：土壤电导率0.02 S/m，相对介电常数8，电流幅值30 kA，模拟空间大小8.4 m*8.4 m*6 m，正弦电流频率为50 Hz，1 MHz和10 MHz。

从图11（a），（b），（c）可以看出，在注入电流频率为50 Hz时，由接地体向土壤中流散的电流基本呈现均匀分布状态，在接地体末端的散流电流较大，即整个散流过程“末端效应”占主要作用。当注入电流频率大于1 MHz时，土壤中电流沿接地体从注入端到导体末端呈现逐渐减小的趋势，并在导体末端又有所回升。从图11（d），（e），（f）可以看出，当注入电流频率为50 Hz时，土壤未发生电离，而随着电流频率增加，电离区域趋向于在接地体附近表层土壤，即存在“趋肤效应”。分析认为，这是由于当低频电流注入时，接地体呈现出低阻抗特性，冲击电流可快速泄放到土壤中去，使其接地体周围土壤电场强度低于击穿强度，故未出现击穿区域；而当高频电流注入接地体时，根据电磁场理论，接地体呈现出高阻抗特性，接地体的阻抗特性阻碍雷电流沿接地体纵向传播，因此电流则趋向于向电流注入端附近土壤流散。但是由于接地体末端散流空间较大，部分电流传播到接地体末端集中流散[35]。因此，在高频电流作用下，“末端效应”和“趋肤效应”共同作用于接地体散流过程中，并且随着注入电流频率的增加，“趋肤效应”作用越来越明显，大大影响了接地体的冲击散流过程，因此，不可忽略“趋肤效应”的影响。

图11 不同电流频率下的电场强度和电导率分布仿真结果Fig.11 The simulation results of electric field strength and electric conductivity distribution in different current frequencies

3 结论

笔者基于Liew和Darveniza提出的土壤非线性击穿过程的时域模型，采用FDTD方法，建立了垂直接地体仿真模型，研究了垂直接地体在不同接地体长度，不同电流幅值和不同正弦电流频率下的散流规律，得到如下结论：

1）接地体长度越长，最大暂态地电位升越小，土壤的横向击穿区域较小，纵向击穿区域较大，暂态冲击阻抗越小，但暂态冲击阻抗随接地体长度增加而减小具有饱和趋势。

2）同种冲击电流波形下电流幅值越大，最大暂态地电位升也越大，接地体周围土壤的横向和纵向击穿区域也越大，暂态冲击阻抗越小。

3）当注入电流频率越高时，电流越倾向于在土壤表层的有限区域内流动，即“趋肤效应”越明显，大大影响了接地体的散流过程。因此，不可忽略“趋肤效应”的影响。

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