数形结合思想在初中数学教学的运用

谢良毅

（南平剑津中学，福建 南平 353000）

数与形是数学中最基本的研究对象，在一定条件下，二者可以相互转化，在问题解决中的“以数解形”或“以形助数”，均体现了数形结合的思想。对数形结合思想，华罗庚是这样描述的：“数以形而直观，形以数而入微。”通过数形结合的应用，能够使复杂的计算变得更简单，思路变得更清晰。

一、初中数学中的数形结合思想

数形结合思想体现在教材各个章节，如九年级初中数学（人教版）第25章概率初步这一课时中，教师可开展钉游戏设计教学活动，让学生自由抛掷图钉，对钉尖朝上或朝下的出现情况进行记录，并就这两种情况的出现频数进行统计，最后依靠相关数据进行钉尖朝上的折线统计图的绘制，总结该情况的变化规律。即：钉尖朝上的概率存在着一定的规律性。同样，还可就射击运动员射击训练中击中靶心的次数进行观察并实现频率计算，同样进行相应的规律总结。而在初中平面直角坐标系这一课时的学习过程中，求证平面内横纵坐标即可实现对物体的位置与方位进行明确。首先，制作平面直角坐标系，并根据已知数据在坐标系上确定其所表达的大致方位，最后勾画出相应的图形，进而得出对称轴与坐标轴两者间存在的变化关系与规律。

1.在函数教学中的体现

在进行二次函数的图像与性质这一课程教学时，一般是先对二次函数中的x、y展开赋值，并建立相应的直角坐标系，进而对相应点标注与连线，绘制出其所表达的二次函数图像，最后就该绘制图像进行性质分析，这样的做法能充分体现形数结合思想在教学的融入。

在实际教学中，当本章的知识教学完成之后，可通过对相关知识点的复习，引导学生发现函数图像的变化是由解析式中的某一个参数变化而引起的。通过数形结合的分析，能够使学生对二次函数及其图像有更清晰的了解。

例1如图所示，存在某一二次函数，且其表达式为y=x2-2x-1，其在直角坐标系中的顶点记作A.而另一二次函数y=ax2+bx和该坐标系的x轴存在两个交点，且交点即为坐标原点O与点C，而该函数的顶点B又存在与上一函数y=x2-2x-1的对称轴上。

（1）试求顶点A和交点C的坐标表达。

（2）当某一四边形AOBC为菱形，求出函数y=ax2+bx的关系表达式。

解析：（1）略

（2）由题可知，四边形AOBC是一个菱形，而点B与点A的位置关系为关于直线OC对称，所以可以得出点B的坐标为(1,2)。又因为函数y=ax2+bx的经过点B(1,2)，C(2,0)所以二次函数y=ax2+bx的关系式为y=-2x2+4x。

教师在教学实践中，需要对数形结合的思想方法的应用进行概括，并将其融入到教学方案设计中，使学生更深入地了解数形结合思想。在章节教学结束之后，教师需要引导学生进行反思与讨论，并对数形结合思想的应用进行一个详细的回顾。

2.在数学概念教学中的体现

例2已知a＜b＜0,试比较a,-a,b,-b的大小。

分析：要快速地解决这个问题，需要认真分析数轴上所标出的a,-a,b,-b，通过观察，学生能够获得正确的结论：a＜b＜-b＜-a。

将数学知识转化为图像，化抽象为具体，是理解学问题的关键。相反数概念“只有符号不同的两个数是相反数”其本身是十分简明的，学生对概念有了一定的认知，再将其反映在数轴上，从几何层面认识“相反数”概念，可使学生能够认识到相反数具有“成对性”“对称性”的特点，在问题解决找那个更快地找到简洁的思路。

很多学生在面对这一类型的题时，常常会感到无从下手，主要还是由于对绝对值概念的不理解。在探究的过程中，如果能引导学生依据已知条件画出草图，就可以拓展解题思路，提高解题效率。数轴上|x-2|表示x与2的距离，|x + 2|表示x与-2的距离，本题也就是求这两个距离和的最小值，那么当-2≤x≤2时，距离和均为最小4,有了直观感知，这个问题也就迎刃而解了。

3.在数学解题中的体现

例4根据下图所示，直线y=kx+b经过A(-2,-1)和B(-3,0)两点，试求不等式组的解集。

分析：如果单从“数”的层面来解题，可借助待定系数法直接把A、B两点的坐标代入y=kx+b中，并求得直线y=kx+b的方程式，将原不等式转化为，再根据相应的解法进一步求解。

求解本题时，从“数”的层面出发就是求解不等组，从“形”的层面出发即是通过直线AB，求直线OA上方和x轴下方的部分所对应的x值。通过对比可以发现，后者的解题过程更为简化。

这一例子为通过函数图像求解不等式提供了一种新的解题思路，能够使学生更加深入地认识到函数和一元一次不等式组的关系，并掌握“以形助数”的思想，有利于拓展学生的思维能力，为以后的数学学习提供帮助。

二、基于数形结合思想的初中数学教学策略

在初中数学教学过程中，教师可以借助几何直观的“形”来清晰地呈现“数”之间的关系，让复杂的问题简单化，教学的关键是引导学生把数式的几何意义挖掘出来，将“形”作为解决问题的手段，将“数”作为解决问题的目的，让学生理解掌握如何依靠具体直观的“形”来清晰地呈现“数”之间的关联，进而使学生能够在解题中有意识地将数字与图形相结合。

例如，在关于有理数的教学内容中，所涉及到的数轴即是数形结合的典型例子，教材将生活中常见的温度计作为例子来引出关于“数轴”的相关概念，再借助数轴来认识相反数和绝对值，并探讨了有理数的加法运算。当学生掌握了有理数加法运算之后，就可以不再借助数轴，直接在脑海中进行简单运算。这一过程坚持了循序渐进的基本原则，从现实中温度计的“形”，拓展到了抽象的数轴之“形”，待熟悉到一定程度之后，再内化进脑海中，形成观念上的“形”，步骤严密、循序渐进，与初中生的思维特点与认知规律相适应。初中阶段的学生其思维处于“由具体到抽象”的过渡阶段，因此教材在编写上也顺应了这一趋势，先形象具体，再抽象概括。

（1）求两个函数图象的交点坐标；

在初中数学教学中，化形为数，是指将“数”作为解决问题的手段，将“形”作为解决问题的目的。在教学过程中教师需引导学生理解掌握如何依靠“数”的精准性，来准确反映“形”的相关属性。

例6如图所示，直线l1的解析表达式为y=-3x+3且直线l2经过点A,B,l1与x轴相交于点D,直线l1，l2交于点C。

（1）求点D的坐标；（2）求直线l2的解析表达式；（3）求△ADC的面积；

分析与解：（1）要求得点D的坐标，可通过建立直线l1表达式y=-3x+3并和已知的y=0进行方程组建立，即可得到仅含未知数X的方程为-3x+3=0..

初中阶段的数形结合思想的渗透教学，还应注重其在应用问题解决中的思路，使学生能够真正融汇贯通，活学活用。例如首先对二元一次方程组实行一次函数的转换，可根据特殊点来绘制两个一次函数，而所绘制的两个图像相交处即为方程组的解。通过数与形的结合来说明一定的数量关系式。

例7某专卖店销售球鞋，设销售球鞋的数量为x（件），销售员的提成为y（元），专卖店每季度付给销售员提成费用的两种方案如下图所示，参照该图解答以下问题。

图4

（1）求y1与y2的函数解析式；

（2）解释两种方案分别是支付销售提成费用的方式？

（3）如果你是销售员，应如何选择付费方案？

解析：

（1）y1=20x，y2=10x+300；

（2）y1没有基本保底工资，每销售10双球鞋，可以得到销售提成200元，y2是基本工资为300元，但每销售10双球鞋只能获得销售提成100元；

（3）若销售能力较强，保证每季度销售球鞋的数量多于30双，就选择y1的付费方案；否则，选择y2的付费方案。

［1］张士领.“数形结合”思想在初中数学教学中的体现及运用［J］.数理化解题研究（初中版），2012（12）.

［2］刘金方.数形结合思想在初中数学教学中的实践研究——以人教版初中数学教材为例［J］.课程教育研究，2015（30）.

［3］王元，等.华罗庚科普著作选集［M］.上海：上海教育出版社，1984：181.

［4］张兰秀.简论学生的数学思维能力及其培养［J］.教学与管理，2010（3）.