体现立体几何思维特征的作图问题

宋建辉

本文源于笔者在一次听课中对一个课堂环节的思考.

在一次听课活动中，该节课的内容是人教A版必修2第二章2.3.2平面与平面垂直的判定，授课教师在课堂上的最后一个环节提出了以下问题：

授课教师所出示的问题源于课本题的改编，将原来的选择题改编为证明题，意图是巩固本节课学习的内容，这无可非议.而改编最大的不同之处，在于授课教师给出了翻折后的立体图形的直观图，这恰恰是值得商榷之处，也引起了笔者的思考，

课堂上学生对该题完成的情况可以说是“冰火两重天”，部分学生非常迅速流畅解决，部分学生则遇到了较大困难，在授课教师不断的提醒“注意翻折前后的几何关系”下，才勉强完成，课后笔者对部分学生进行了访谈，了解到学生问题的原因所在：学生的思考集中在教师给出的几何体中去寻找获取证明面面垂直所需要的条件，而忽略了翻折前后图形的联系，这恰恰是教师给出的翻折后几何体的直观图造成的，让学生跳过了探究图形形成的过程，而去直接证明问题，从而造成了思维的阻断.

思考1对于这道题来说，最难的一点就是，学生怎样画这个立体图，怎么画这个立体图，老师给画出来了，让学生去证，怎么可能证不出来呢？老师给了图，就背离这道题的命制意图，它的价值也就大打折扣了.讲这道题最理想的方法，就是让学生画图，画图的过程实质就是证明过程，画完图，这题也就证明完了，于是我们可以这样设计这道题的教学：

如图1，正方形SG1，G2，G3中，EF分别是G1G2，G2G3的中点，D是EF的中点，现在沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3三点重合，重合后的点记为G.

问题1动手操作：请同学们拿出一张A4纸裁成正方形，根据题目的要求，折出这个四面体.

问题2根据你折成的四面体，画出四面体S-EFG的直观图.

问题3请你判断平面GEF垂直于平面GDS吗？若垂直，请证明；若不垂直，请说明理由，

问题4你还能提出哪些问题？

作如此的教学设计，无疑抓住了立体几何教学中最基本、最基础的作图问题，充分体现了“实验操作、直观感知、推理论证”的课标理念，既重视了课堂的生成性，又体现了教学的过程性，对提高学生的空间想象能力、推理论证能力有较大的作用，

预期1翻折后的图形有以下几种画法：

预期2提出的问题如下： ①求四面体a-c外接球的体积，②求点G到平面SEF的距离，③求证：点G在平面SEF的正投影是ASEF的垂心，……

思考2作图问题，课本中就有要求，如人教A版必修2第59页例3，人教A版必修2第63页B组第1题，人教A版必修2第78页A组第2题等；历年的高考试题也不少，如2016年全国乙卷文18题；2016年四川理18题；2013年福建理19题；2013年福建文18题；2013年湖北理19题；2013年四川理19题，文19题；2013年安微理15题，文15题；2009年安微理18题；2002年全国高考文科22题，于是我们可以看到，这不是新的题型，但是在日常教学中就被忽视！原因之一是立体几何作图问题较少考到；原因之二是广大教师没有意识或认识到作图在立体几何中的教学价值和问题解决中的作用.

案例2016年全国乙卷文科第18题立体几何解答题，就是一道蕴含推理论证的作图试题，该题实测得分率非常低，堪称2016年文科考生“黑色18题”.

试题呈现（部分）如图7，已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形，PA =6，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，点D在平面PAB内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G.

（I）略；（II）在答题卡第（18）题图中作出点E在平面PAC内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体PDEF的体积，

笔者曾将该题给理科生做，同样也完成得非常不理想，这是我们教学中长期忽略作图问题的后果，应引起广大教师的关注，同时应思考我们立体几何教学的问题所在，

解法1在平面PAB内.过点E作PB的平行线交PA于点F，F即为E在平面PAC内的正投影.

理由如下由已知可得PB⊥PA.PB⊥PC，又EF∥ PB，所以EF⊥PC，因此EF⊥PA，EF⊥PC，又PA∩PC=P，所以EF⊥平面PAC，即点F为E在平面PAC内的正投影.（求体积略）

解法2若注意到该题的正三棱锥的侧面是直角三角形，与正方体这个典型的几何体相联系，将该问题放置在正方体中研究则显得更为直观、易证.

如图9，正方体P-ABC显然是满足条件的三棱锥，过点E作EF⊥PA于F，在正方体中，平面PAB上平面PAC，且平面PAB∩平面PAC= PA，所以EF⊥平面PAC，即F为E在平面PAC内的正投影.

是题目偏吗？不是！本题目恰好考查立体几何最基本的內容！立体几何最基本的内容是什么？是证明各种位置关系和各种计算吗？不是！课程标准提到立体几何的教学原则是：直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算，在这里最基本的是前8个字，本题目考查的内容，说高大上就是空间想象能力，说细致就是立体几何的绘图能力，因此，在日常教学中，我们要认识到作图问题是立体几何中最基础、最基本的知识，是学习立体几何最重要的基本功，更要重视蕴含“推理论证”的立体几何作图问题的研究，通过这些作图问题可以大大提高学生的空间想象力和推理论证能力，领悟立体几何思维的核心，拓展学生理性思维的广度和深度，这就是笔者在这节课听课后的思考与反思.endprint