基于指数加权衰减记忆无迹卡尔曼滤波的路面附着系数估计*

付翔 孙威 黄斌 邢爱娟 王静

（武汉理工大学，现代汽车零部件技术湖北省重点实验室 汽车零部件技术湖北省协同创新中心，武汉 430070）

1 前言

实时、准确地获取路面附着系数是车辆制定相关稳定性控制策略的基础，也是实现车辆主动安全控制的必要前提。国内外学者在基于μ-s曲线估计路面附着系数方面已经作了大量研究[1~5]，但是该方法需要大量的数据进行拟合，存在响应慢、实时性不强等问题，且识别结果的准确性过于依赖模型精度。近年来，基于车载传感器信息融合技术进行路面附着系数实时估计的方法在研究中得到广泛应用。文献[6]基于扩展卡尔曼滤波算法对路面附着系数进行了估计，文献[7]基于无迹卡尔曼滤波算法初步仿真估计了路面附着系数，文献[8]采用交互式多模型算法估计了车速和路面附着系数，文献[9]利用回归最小二乘法和辅助变量法对路面附着系数进行了识别。

车辆作为一个强非线性复杂系统，其动力学模型通常与真实系统之间存在着不可避免的误差，使模型不能反映真实的物理过程，使得观测值与模型不相对应，从而引起滤波误差较大甚至发散等问题[10]。传统无迹卡尔曼滤波（Unscented Kalman Filter，UKF）虽然具有估计精度高的特点，但它以标准卡尔曼滤波为基础，属于无限增长记忆滤波，在进行任意时刻的滤波估计时，要用到当前时刻以前的所有数据，导致当前传感器测量值没有得到充分利用，且UKF估计需要精确的数学模型和噪声统计特性，否则会引起滤波精度降低甚至发散的现象。鉴于此，本文在传统UKF基础上，引入衰减记忆滤波对噪声及观测数据进行指数加权处理，逐渐减小旧观测数据的权重，相应地增大新近观测数据的权重，从而逐渐减小旧观测数据对滤波的不良影响，提高估计算法的性能和精度，增强滤波器的稳定性。

2 非线性车辆动力学模型

2.1 整车模型

本文主要研究车辆在水平路面的附着系数估计，所提出的估计算法基于如图1所示的3自由度车辆模型，包括车辆的纵向、侧向和横摆3个方向的运动。图1中，vx、vy分别为车辆的纵向速度和侧向速度。

图1 车辆模型

车辆运动方程为：

式中，ax、ay、r分别为车辆的纵向加速度、横向加速度、横摆角速度；m为整车质量；Fw=CDAvx2/21.15为空气阻力；Fxi、Fyi分别为纵向力和侧向力（i=1,2,3,4分别代表左前轮、右前轮、左后轮、右后轮）；a、b分别为前轴和后轴至车辆质心的距离；tf、tr分别为前、后轮距；δ为前轮转角（假设两前轮转角相同）；Iz为整车绕垂直轴的转动惯量；CD为空气阻力系数；A为车辆纵向迎风面积。

2.2 轮胎模型

针对参数估计的研究，综合算法的复杂度、实时性和模型精度考虑，采用Dugoff轮胎模型[11]。轮胎纵向力和侧向力可分别表示为：

式中，Cx、Cy分别为轮胎的纵向刚度和侧偏刚度，它们在不同垂直载荷下的取值可通过查表获得；α、s分别为轮胎的侧偏角和纵向滑移（转）率，它们可表示为参数δ、vx、vy、ωi、ax、ay的函数形式[12]；边界值L>1 时表示轮胎处于线性区间，L≤1时表示轮胎处于非线性区间；ε为速度影响因子，修正了轮胎滑移速度对轮胎纵向力的影响；μ为路面附着系数；Fz为轮胎垂向载荷。

为便于估计算法的实现，可将式（4）简化为归一化形式：

3 指数加权衰减记忆UKF估计算法设计

3.1 估计器设计

本文主要研究路面附着系数的实时估计，以4个车轮的附着系数作为系统的状态变量，定义x=（μ1,μ2,μ3,μ4）T；以传感器测量的车辆纵向加速度、侧向加速度和横摆角速度作为系统的观测变量，定义z=（ax,ay,r）T；以前轮转角和各车轮纵、侧向归一化力作为系统的控制输入变量，即

对于一般的非线性系统，其状态估计模型均可表示为：

基于此，估计器的状态方程和观测方程分别表达为：

3.2 传统UKF设计

传统UKF以标准卡尔曼滤波为基础，对于一步预测方程，使用无迹变换（Unscented Transformation，UT）来处理均值和协方差的非线性传递问题。对于不同时刻k的UKF算法的基本实现步骤如下[13]：

a. 状态方程离散化。将式（8）离散化后得到的离散状态方程为：

式中，xk为k时刻的状态矢量；zk为k时刻的输出矢量；uk为控制输入矢量。

噪声wk、vk的统计特性如下：

式中，qk、Qk分别为过程噪声的均值和协方差矩阵；rk、Rk分别为观测噪声的均值和协方差矩阵；δkj为Kroneckerδ函数。

b.滤波器状态估计值和误差协方差初始化：

c.UT变换：

对于n维状态变量（本文中n=4），根据其均值x和方差P，可以通过如下变换得到（2n+1）个Sigma点x和相应的权值ω来计算z的统计特征。

式中，ωm、ωc分别为系统均值和协方差的权值；λ=a2(n+κ)-n为缩放比例参数；τ为尺度参数，其值的选取决定了采样点的分布状态，通常选取较小的正值（10-4≤τ≤1），本文取τ=0.01；κ为比例系数，通常n+κ=3；β为非负的权系数，它可以合并高阶项的动态误差，对于服从高斯分布的状态变量，β=2是最优的。

d.时间更新：

e.量测更新：

3.3 衰减记忆滤波设计

传统UKF、扩展卡尔曼滤波（Extended Kalman Filter，EKF）和标准卡尔曼滤波（Kalman Filter，KF）一样，均属于无限增长记忆滤波，在进行k时刻的最优估计时，要用到k时刻之前的所有数据，因此随着k的增大，滤波值中的旧数据比重过大，而新数据比重相对较小，当系统存在模型误差和未知时变噪声时，新的观测数据对状态估计的修正作用过小，不能有效地抑制误差对状态估计值的影响，从而造成误差累积，继而导致滤波误差过大甚至发散[14]。所以，针对模型误差引起的滤波发散，应设法加大新观测数据的作用，而相对减小旧数据对滤波值的影响。

车辆在行驶过程中，实时、准确地估计路面附着系数对于车轮力的计算、车辆稳定性控制策略的开发至关重要，尤其是对于对接路面这种突变工况下的估计，如果不能及时有效地舍去旧估计值、增大新近测量数据的权重，将会给状态估计带来很大的误差。另外，文章所使用的Dugoff轮胎模型并没有考虑车轮回正力矩这一影响因素，这种模型自身固有误差的存在必然会在一定程度上给非直线工况下车辆的附着系数估计带来影响，这种情况下更应该加大当前观测数据的作用。基于此，本文在传统UKF的基础上引入衰减记忆滤波，且考虑到常值衰减因子并不能突出最新观测数据对滤波精度的影响[15]，设计了指数衰减因子对传统UKF算法进行改进，保证估计器工作在最佳状态。

对于N时刻的滤波，为了克服滤波发散，就应相对地突出K（N），而相对地减小N时刻以前的K（k）值。已知K（k）与Rk成反比、与Pk成正比关系[10]，一般来说，系统的状态过程噪声Q为一定值，可以通过调节使其值达到最优，为了达到上述目的，可使最近时刻的Rk和Pk分别相应减小和增大，通过采用指数加权的方法，可将P（k）和R（k）分别变为下列形式：

式中，ci（i=1,2,...）为一正整数。

将式（30）各自变量分别带入式（17）和式（25）中，结合所设计的估计器，便构成了一种指数加权衰减记忆无迹卡尔曼滤波算法（Fading Memory-Unscented Kal⁃man Filtering，FM-UKF）。

4 仿真分析

为了验证所设计的估计算法的有效性，利用MATLAB/Simulink和CarSim软件对算法进行联合仿真。为了在仿真及后续的实车试验结果中体现出算法的实时收敛性，仿真起始时刻系统状态变量初值设置为x=（0.001,0.001,0.001,0.001）T。以CarSim输出的纵、侧向加速度和横摆角速度并结合高斯白噪声作为系统的量测值，以前轮转角和各车轮归一化力作为系统控制输入，对当前路面附着系数进行实时估计，并将FM-UKF估计结果与传统UKF估计结果和CarSim的输出值进行对比。仿真选用CarSim自带的一款B级车，其相关参数见表1。

表1 车辆模型参数

4.1 对接路面工况

在CarSim内设置车辆在附着系数从0.2至0.8的突变路面下进行起始车速为30 km/h的加速和制动联合工况仿真。附着系数0.2的路面长度25 m，加速踏板以50%开度保持至4 s，车辆在第4 s后制动，试验过程中转向盘转角保持为0。其中含高斯白噪声的纵向加速度测量值如图2所示，传统UKF算法和FM-UKF算法的路面附着系数估计结果与CarSim输出值的对比如图3所示。从仿真结果可以看出，在路面附着系数突变之前，两种算法均能取得较好的估计结果，当车辆进入新的路面瞬间以及车辆制动的初始时刻，采用传统UKF算法的估计结果存在严重的抖振现象，且随着时间的推移，路面附着系数的估计结果稳态误差较大甚至有发散的趋势，但采用FM-UKF算法的估计结果不仅有效消除了路面突变引起的抖振以及制动初始时刻带来的波动，且能很快收敛到真实值，具有良好的精度和稳定性。

图2 含高斯白噪声的纵向加速度

图3 路面附着系数估计

4.2 双移线工况

在CarSim内设置车辆在附着系数为0.8的路面下进行起始车速为85 km/h的匀速双移线仿真。其中含高斯白噪声的侧向加速度和横摆角速度测量值如图4所示，传统UKF算法和FM-UKF算法的路面附着系数估计结果与CarSim输出值的对比如图5所示。从仿真结果可以看出，车辆在第4 s左右处于非线性区域，采用传统UKF算法的估计结果波动较大，在非线性区附近抖振最为严重，且收敛速度较慢，稳定值与真实值之间存在较大的误差，而采用FM-UKF算法的估计结果收敛迅速，且整体精度和稳定性与采用传统UKF算法的估计结果相比均具有很大提升，在一定程度上弥补了轮胎模型没有考虑车轮回正力矩这一误差因素的影响。

图4 含高斯白噪声的侧向加速度和横摆角速度

图5 路面附着系数估计

5 实车试验

为进一步验证所设计的FM-UKF算法对路面附着系数估计的有效性，本文基于某型四轮独立驱动越野车平台，进行实车道路试验。试验所需的转向盘转角、各车轮转速和纵向车速信息分别由转向盘转角传感器、轮速传感器和GPS采集，纵、侧向加速度和横摆角速度的量测值由陀螺仪采集，采样周期为10 ms。由于侧向车速不能直接测量得到，直接对测量的侧向加速度积分易造成误差积累，通过对侧向加速度进行标准卡尔曼滤波处理可得到侧向车速。上述仪器所测得的相关量值信息均可挂载在CAN总线上，通过I/O接口经dSPACE的D/A模块实时传递至上位机软件ControlDesk中，一方面可以进行数据的实时监控，另一方面可以开展数据的采集和保存。试验车辆、设备和数据处理流程分别如图6和图7所示。试验所采集的相关信息在MATLAB/Simu⁃link环境下实现所设计的FM-UKF算法，并与UKF算法的估计结果进行对比分析。

图6 道路试验实际车辆

图7 试验设备与数据采集处理流程

5.1 对接路试验

在标准试验场地选取洒水的ABS路作为低附着路面（附着系数约为0.22~0.25），选取干燥、平坦清洁的水泥混凝土作为高附着路面（附着系数约为0.78~0.80）进行实车道路试验（道路试验如图6所示）。为了充分利用道路条件、突出算法的工况适应性，对试验车辆连续进行低附着加速、低附着滑行和高附着滑行试验，其中纵向车速、纵向加速度和轮速等信息如图8所示，算法的估计结果如图9所示。从图中可以看出，FM-UKF算法的估计结果整体稳定性较好，精度较高，车辆在第10 s左右进入高附路后，算法的响应迅速，这也表明算法对突变工况具有良好的适应性；而传统UKF算法估计的路面附着系数稳定性较差，对突变工况的响应较慢，且进入新的工况之后，由于误差累积的影响，收敛值与实际值之间的偏差有增大的趋势。

图8 对接路面工况下的量测数据

图9 对接路面工况下的路面附着系数估计

5.2 双移线试验

在试验场水平干沥青路面上（附着系数0.8左右），依据标准ISO 3888-1:1999进行匀速双移线工况实车试验，出于安全性考虑，试验车速选为45 km/h（±1 km/h）。由GPS和陀螺仪记录的部分量测值如图10所示，路面附着系数的估计结果如图11所示。

图10 双移线工况下的量测数据

图11 双移线工况下的路面附着系数估计

试验结果表明：采用所设计的FM-UKF算法估计的路面附着系数结果较平稳，收敛较快，估计精度较高；采用传统UKF算法的估计结果波动较大，收敛较慢，且估计结果与实际值存在一定的偏差。另外，对比对接工况的估计结果可以看出，双移线工况的收敛相对较慢，分析原因可知，当车辆产生一定幅度的动态响应时，才能更加有效地刺激滤波算法的运作，即当车辆行驶在靠近极限工况时（比如大滑转率），算法收敛更快，估计效果更好，这对于ABS、TCS等工作在极限工况附近的主动安全控制系统来说是有利的。

6 结束语

本文在传统UKF算法的基础上，针对车辆模型存在误差和时变噪声统计特性无法获知等特点，提出了一种采用指数加权衰减记忆的UKF算法，并使用该算法对路面附着系数进行了实时估计，经不同工况下的两种算法对比仿真试验验证，可得出以下结论：

a.所提算法在不同工况下均能较好地估计路面的附着系数，在相同条件下，与采用传统UKF算法的估计结果相比，该算法具有良好的估计精度和稳定性，且响应速度得到了提升。

b.FM-UKF算法在不影响实时性的前提下易于实现，在模型存在误差和噪声统计特性未知的情况下依然能够保持较高的估计精度，且具有良好的滤波稳定性，表明该算法具有一定的自适应性。

[1]Li L, Li H, Song J,et al.Road Friction Estima⁃tion under Complicated Maneuver Conditions for Active Yaw Control[J].Chinese Journal of Mechanical Engineer⁃ing，2009，22（4）：514-520.

[2]徐延海.基于轮速的路面状态识别方法[J].农业机械学报，2007，38（3）：19-22.

[3]Gustafsson F. Monitoring Tire-road Friction Us⁃ing the Wheel Slip[J].Control Systems IEEE，2010，18（4）：42-49.

[4]de Castro R,Araujo R E,Cardoso J S,et al.A New Linear Parametrization for Peak Friction Coefficient Estimation in Real Time[C].IEEE Vehicle Power and Propulsion Conference，Lille，2010.

[5]Zhao Z,YuZ,SunZ.Researchon Fuzzy Road Surface Identification and Logic Control for Anti-lock Braking System[C].IEEE International Conference on Vehicular Electronics and Safety，Beijing，2007.

[6]武钟财.基于扩展卡尔曼滤波的路面附着系数估计算法研究[D].长春：吉林大学，2008.

[7]赵万忠，张寒，王春燕.基于无迹卡尔曼滤波的汽车状态参数估计[J].华南理工大学学报：自然科学版，2016，44（3）：76-80.

[8]Tsunashima H, Murakami M, Miyataa J.Vehicle and Road State Estimation Using Interacting Multiple Model Approach[J].Vehicle System Dynamics，2006，44（sup1）：750-758.

[9]Takaji U.Estimation of tire-road friction by tire rota⁃tional vibration model[J].R&D Review of Toyota CRDL，2002，37（3）：53-58.

[10]王志贤.最优状态估计与系统辨识[M].西安：西北工业大学出版社，2004.

[11]DugoffH P, Fancher P S, Segel L. An Analysis of Tire Traction Properties and Their Influence on Vehicle dynamic Performance. SAE paper 700377：64~66.

[12]Abe M.Vehicle Handling Dynamics[M].Oxford：Butter⁃worth-Heinemann，2009.

[13]黄小平，王岩.卡尔曼滤波原理及应用：MATLAB仿真[M].北京：电子工业出版社，2015.

[14]章飞，周杏鹏，陈小惠.基于衰减记忆滤波的平方根UKF被动目标跟踪算法[J]. 测控技术，2010，29（4）：22-26.

[15]蔡佳，黄长强，井会锁，等.基于指数加权的改进衰减记忆自适应滤波算法[J].探测与控制学报，2013，35（4）：21-26.