静电力做功与路径无关的证明

项芳聪��

摘要：静电力做功与路径无關是引入电势能概念的前提。本文针对部分师生对非匀强电场中静电力做功与路径无关证明方法的误解，提出合理的、且能被中学生接受的证明方法。

关键词：静电力；做功；路径

在必修物理课中我们学过，正是由于移动物体时重力做功与路径无关，同一物体在地面附近的同一位置才具有确定的重力势能，从而也使重力势能的概念有了实际意义。

与重力势能相类比，人民教育出版社教材《物理》选修 3-1第一章第 4 节“电势能和电势”中，在引入电势能概念前，先行证明静电力对电荷所做的功与路径无关。

试探电荷q在电场强度为E的匀强电场中沿几条不同路径从A点移动到B点，我们计算这几种情况下静电力所做的功。

q在沿直线从A移往B的过程中（图1），受到的静电力F=qE，静电力与位移AB的夹角为θ，静电力对q所做的功为W=Fcosθ·|AB|=qE·|AM|。

q在沿折线AMB从A移往B的过程中（图1），在线段AM上静电力对q所做的功W1=qE·|AM|。在线段MB上，由于移动方向跟静电力垂直，静电力不做功，W2=0。在整个移动过程中静电力对q所做的功W=W1+W2。所以W=qE·|AM|。

再使q沿任意曲线ANB从A移往B（图2）。我们可以用无数组跟静电力垂直和平行的折线来逼近曲线ANB。只要q的移动方向与静电力垂直，静电力都不做功。只要q的移动方向与静电力平行，静电力都做功，而这些与静电力平行的短折线的长度之和等于|AM|。因此，静电力所做的功还是W=qE·|AM|。

可见，不论q经由什么路径从A点移动到B点，静电力做的功都是一样的。因此，在匀强电场中移动电荷时，静电力做的功与电荷的起始位置和终止位置有关，但与电荷经过的路径无关。

这个结论虽然是从匀强电场中推导出来的，但是可以证明，对于非匀强电场，也是适用的。

对于非匀强电场，可能由于高中数学知识所限，教材上只说“可以证明”，至于如何证明，连大致的思路都没有提供。

笔者听过一节公开课，授课老师讲到这里时，对同学们说，在非匀强电场沿某一路径移动电荷，可以把整个路径分成许多很短的间隔，只要每一个间隔足够小，这些间隔中的电场就可以看作匀强电场，这样就可以用教材中的推导方法证明在每一个小间隔内电场力做功都与路径无关。最后再将每小段的功取代数和，就是电荷通过整个路径时电场力所做的功。因为每个小间隔内电场力做功都与路径无关，所以全过程电场力做功也就跟路径无关了。

这样的证明思路初一听，好像很有道理，但细一想，却是不对的。要是这一老师的思路是正确的，按照这一思路也可以证明在感生电场中的移动电荷，电场力做功与路径无关。因为在感生电场中移动电荷，也可以把整个路径分割成许多小段，每一小段的电场也是可以看成匀强电场的。可实际上，感生电场是磁场变化时在空间激发的一种电场，它的电场线是闭合的，试想将试探电荷q沿着感生电场的某一条电场线移动一周，电场力做的功为W，那么移动两周的话，电场力做的功就会是2W。也就是说，感生电场中，电场力做功是与路径有关的。

那么，到底如何证明非匀强电场中，静电力做的功与电荷经过的路径无关呢？

大学物理教材中，在证明“静电场中电场力做功与路径无关”的结论时，思路是从库仑定律和叠加原理出发来证明电场力做功与路径无关，即先证明点电荷产生的电场中电场力对试探电荷做功与路径无关，然后再证明任意带电体产生的电场中电场力做功与路径无关。

因为中学生没有学过微积分，照搬大学教材中的积分公式，学生可能听不懂。不过这一证明思路还是可以向学生介绍的。笔者在教学中，借鉴高中教材中的推导方法，向学生介绍大学教材中的这一推导思路，效果很好。

参考文献：

[1]普通高中课程标准实验教科书物理[M].北京：人民教育出版社，2015.

[2]张三慧.大学物理学.力学、电磁学[M].北京：清华大学出版社，2009，2.

作者简介：

项芳聪，浙江省温州市，浙江省苍南中学。endprint