霍尔效应从经典到量子

孙嘉良　张亚星

摘要：霍尔效应是物理学的重大发现之一，特别是1980年发现的整数量子霍尔效应，以及1982年发现的分数量子霍尔效应，对于物理学理论的发展和实际应用都具有重要意义；特别是在电子技术、测量技术、自动控制技术等领域有着广泛应用。

关键词：霍尔效应；经典量子；整数量子霍尔效应；分数量子霍尔效应

1979年，美国人霍尔（E. H. Hall）发现，将通有电流的金箔置于均匀磁场中时，除了电流方向存在正常电压外，与电流和磁场都垂直的方向上也可以测量到电压，此后人们就将这个电压称作霍尔电压，通常记作VH。

霍尔电压是最简单也是最有用的电磁效应。例如，利用VH可以测定样品（特别是半导体）的载流子浓度等性质；可以制成高斯计等。霍尔电压VH=KIBd，

（1） 其中K是霍尔系数d是样品厚度。可以证明K=1nq，

（2） 式中n是载流子浓度即单位体积内的载流子数，q是载流子电量，若载流子是电子，则q=-e。由霍尔电压可以定义霍尔电阻：RH=VHI=Bnqd，

（3） 霍爾电压的产生，是由于载流子在磁场中运动时受到洛伦兹力。

F=qE+qcv×B，

（4） 若选取磁场方向为z方向，电流方向为x方向，那么电场E的方向在-x方向。若电子在x方向的漂移速度为vx，那么它在y方向受到的洛伦兹力： Fy=-evxcB，

（5） 电子受到的电场力-eE和洛伦兹力相等时达到平衡，即：evxBz-eEy=0，

（6） 如果电子浓度是n，则电流速度jx=-nevx，

（7） 式中出现负号是因为电子带负电荷是负的。

利用（6）式我们得到Ey=KjxBz，

（8） K是Hall系数。由上述论证可知K=-1ne，

（9） 若q=-e，则有K=1nq这正是（2）式所给的结果。

如果实验样品很薄，即厚度d→0，但保证（3）式中的nqd固定，这样的二维霍尔电阻与试样的尺度无关，即 RH=Bnq，

（10） 霍尔电导率σH是电流密度jx=-envx与y方向的有效电场Ey=Fy-e=jx-encB之比，所以 σH=jxEy=-encB，

（11） 一般情况下电导率是张量记作（σij），它将电流密度矢量j与电场强度矢量E联系起来：j=（σij）E；i，j=x，y，z。

电导率张量的分量与电阻率张量分量之间的关系是：

σxx=ρxxρ2xy+ρ2xx=σyy，σxy=ρxyρ2xy+ρ2yx=-σyx，

假定σxx=0ρxx=0，则霍尔电导率及电阻率是：σH=σxy；ρH=ρxy，

（12） 由（3）式可知，经典霍尔效应的霍尔电阻RH随外磁场B的增强而线性增大，但到了1980年这一规律受到了质疑。

法国科学家Klitzing等人发现，在强磁场及极低温条件下，二维系统的霍尔电阻以e2h的整数倍跳跃变化，不再随磁场线性变化，这一现象称为整数量子霍尔效应，并因此他们而获得1985年诺贝尔物理学奖。

根据量子力学，电子在垂直于磁场的平面内运动时，能量不连续即：E（n，k）=ξc+（n+12）书版无字符：0x210fωc，n=0，1，2…

（13） 其中ωc称为回旋共振频率。根据泡利原理，电子态将从最低能级填充到某个高能级。

假定有N个电子从最低能级n=0，一直填充到能级l，也就是填充了（l+1）个能级，我们可以得到磁场B与电子密度n之间关系：

B=nhce（l+1），l=0，1，2…（14）

比较（14）及（10）式，可得到量子化霍尔电导率σH及电阻率ρH：

σH=-encB=-e2h（l+1）

ρH=ρxy=he2·1l+1；l=0，1，2…（15）

霍尔电阻率可以精确测量到10-7，光速可精确到10-9，因而可精确得到精细结构常数：α=e2书版无字符：0x210fc=e2h2πc。另外，也提供了一个新的方便使用的标准电阻，已经被美国国家标准局采用。

在整数量子霍尔效应发现后仅两年时间，即1982年，崔琦、Strmer和Gossard对高纯度样品在强磁场低温条件下的实验发现，量子霍尔电阻的平台还存在有规律的精细结构，也就是在一个平台的12m+1处（m取正整数），例如13，15，17等处也出现小台阶。

在此之后，又发现分母为偶数例如12，32处也出现小台阶。

这一现象称为反常量子霍尔效应（FQHE）。由于发现分数量子霍尔效应，崔琦及Stromer获得1998年的诺贝尔物理学奖。

参考文献：

[1] 徐龙道等.物理学词典[M].北京：科学出版社，2007：164.

[2] DATTA S.Electronic Transport in Mesoscopic Systems[M]，London：Cambridge University，2002，P175

[3] TAYLOR P L，HEINONEN O.Aquantum Approach to condensed Matter Physics[M].London Cambridge University，2002：342.

作者简介：

孙嘉良，山东省烟台市，烟台大学光电信息科学技术学院；张亚星，山东省烟台市，烟台大学文经学院实验与资产管理部。endprint