内积空间的教学应向学生强调定理成立的大前提条件

摘要：内积空间是大学线性代数或高等代数课程教学的重要内容，分为实内积空间和复内积空间两部分内容。在实内积空间的教学中我们引入了特殊矩阵正交矩阵，而在复内积空间的教学中我们对应于正交矩阵引入了特殊矩阵酉矩阵。本文对内积空间的教学中正交矩阵和酉矩阵的两个字面叙述相同容易引起学生困惑的充要条件即“矩阵的列向量组是一个单位正交向量组”进行仔细分析，指出了它们之间虽然字面叙述一样但却隐藏着本质性的不同之处，这一不同之处就是这两个充要条件各自成立的大前提条件的不同，而引起学生困惑的根源就在于我们为了这两个充要条件记忆和叙述方便省略了它们各自成立的大前提条件。于是我们得出结论，教师在内积空间的教学中，应该主动向学生强调定理成立的大前提条件，以免学生在学习中产生疑惑。

关键词：内积空间；正交矩阵；酉矩阵；单位正交向量组；大前提条件

一、 引言

内积空间是大学线性代数或高等代数课程教学的重要内容，分为实内积空间（又称Euclid空间）和复内积空间（又称酉空间）两部分内容。这两部分内容中的相关知识是平行对应的，教师时常会在教学中为学生加以类比。例如，在实内积空间的教学中我们引入了特殊矩阵正交矩阵，而在复内积空间的教学中我们对应于正交矩阵引入了特殊矩阵酉矩阵。在矩阵理论中，正交矩阵和酉矩阵是两类重要的特殊矩阵，它们有不少比较好的性质。本文将对在内积空间教学中正交矩阵和酉矩阵的两个字面叙述相同的充要条件“矩阵的列向量组是一个单位正交向量组”作出分析，指出它们相同字面叙述背后隐藏着的本质上的不同之处以及学生学习时产生困惑的根源，进而得出结论：教师在内积空间的教学中应该主动向学生强调定理成立的大前提条件以消除学生的疑惑。

先说明一些本文将使用的符号。I表示n阶单位矩阵；AT表示矩阵A的转置；A*表示矩阵A的共轭转置。两个列向量x和y的内积用〈x，y〉来表示。

二、 定义

定义1一个n阶实矩阵A叫做一个正交矩阵，如果AAT=ATA=I。

定义2一个n阶复矩阵U叫做一个酉矩阵，如果UU=UU=I。

这里特别要注意，正交矩阵是一个实矩阵，为了强调这一限制以免初学的学生忘记，教师在课堂上教学时可以告诉学生，也可以将正交矩阵稱为“实正交矩阵”。很明显，正交矩阵一定是酉矩阵，正交矩阵集合是酉矩阵集合的真子集。

三、 对正交矩阵和酉矩阵两个字面叙述相同的充要条件的分析

在内积空间的教学中，有的教师会向学生介绍正交矩阵和酉矩阵的两个常用和重要的充要条件：

定理1一个n阶实矩阵A是正交矩阵的充要条件是这个矩阵的列向量组是一个单位正交向量组。

定理2一个n阶复矩阵U是酉矩阵的充要条件是这个矩阵的列向量组是一个单位正交向量组。

（注：把上述两个定理中的列向量组改为行向量组，结论同样成立）

乍一看，定理1和定理2后面充要条件的文字叙述是完全一样的，都是“矩阵的列向量组是一个单位正交向量组”。这样一来，如果一些学生只看文字表面不加仔细思考的话，就会感到很疑惑，甚至容易得出一个矩阵是正交矩阵和一个矩阵是酉矩阵是一回事，也就是正交矩阵就是酉矩阵的谬论来。那么问题出在什么地方呢？怎样给学生解释清楚消除困惑并帮助他们辨析和纠正错误呢？

为了找出问题的根本原因，我们可以仔细考察这两个结论的证明。

定理1的证明：

先将矩阵A按列分块为A=（a1，a2，…，an），其中a1，a2，…，an是A的n个列向量，则

A是正交矩阵（a1，a2，…，an）T（a1，a2，…，an）=IaT1aT2aTn（a1，a2，…，an）=I

aTiaj=δij=1，i=j0，i≠j，i，j=1，2，…，n〈ai，aj〉=δij=1，i=j0，i≠j，i，j=1，2，…，nA的列向量组a1，a2，…，an是单位正交向量组。

定理2的证明：

先将矩阵U按列分块为U=（u1，u2，…，un），其中u1，u2，…，un是U的n个列向量，则

U是酉矩阵（u1，u2，…，un）（u1，u2，…，un）=Iu1u2un（u1，u2，…，un）=I

uiuj=δij=1，i=j0，i≠j，i，j=1，2，…，n〈ui，uj〉=δij=1，i=j0，i≠j，i，j=1，2，…，n

U的列向量组u1，u2，…，un是单位正交向量组。

现在我们对比一下这两个定理的证明过程。从总体上可以看出，这两个证明过程完全类似。为了找出主要的不同之处，我们需要仔细对比分析这两个证明过程。不难看出，倒数第二步推导，即aTiaj=δij〈ai，aj〉=δij和uiuj=δij〈ui，uj〉=δij，体现了这两个证明过程的本质差异。前一个证明过程的推导用到了〈ai，aj〉=aTiaj，而后一个证明过程的推导用到了〈ui，uj〉=uiuj。虽然都是内积，用的公式却不一样。原因在于前一个证明过程中的内积是实内积空间中的内积，而后一个证明过程中的内积是复内积空间中的内积，两者的定义不一样。“单位”和“正交”这两个概念都是由内积的概念引出的，虽然定理1和定理2这两个充要条件在字面上是一样的，但因为内积的定义不一样，自然“单位”和“正交”的含义也随之变化，所以这两个充要条件在本质上并不相同。在倒数第二步推导中，定理1的证明实际是默认了所有列向量都是实向量，也就是A是一个实方阵；定理2的证明实际是默认了所有列向量都是复向量，也就是U是一个复方阵。

根据以上分析，为体现出这两个充要条件的本质区别，定理1和定理2完整的叙述应该是：

定理1′ 一个（n阶实）矩阵A是正交矩阵的充要条件是这个（实）矩阵的列向量组是一个单位正交向量组。endprint

定理2′ 一个（n阶复）矩阵U是酉矩阵的充要条件是这个（复）矩阵的列向量组是一个单位正交向量组。

现在请注意上面定理1′和定理2′叙述中我们有意加了括号的文字。将定理1′、定理2′和前面的定理1、定理2对比，可以看出定理1和定理2后面分别省略了定理1′和定理2′后面加了括号的“实”字和“复”字。这个“实”字意即“A是实方阵”正是定理1这个结论成立的大前提条件，而这个“复”字意即“U是复方阵”又正是定理2这个结论成立的大前提条件，它们是证明结论时必须要用到的。正是因为这两个字省略了，定理1和定理2后面的充要条件在字面上就完全一样了，这正是容易引起困惑的地方。在数学结论的叙述中，之所以要省略部分文字，一般是出于认为结论所在上下文的说明比较清楚，不致引起误解，或者是为了方便记忆，从而省去一部分累赘的文字（为便于记忆这两个充要条件，在清楚结论成立的大前提条件的情况下，我们甚至可能会省略掉定理1′和定理2′中所有括号中的文字）。但是，如果对结论成立的大前提条件并不十分清楚的话，这样的文字省略也会让学生对结论产生困惑，本文所分析的定理1和定理2就是一个例子。

为避免学生今后产生困惑，一种比较好的方法是，在教学时把容易省略的文字即结论成立的大前提条件写在充要条件定理的最前面并向学生加以强调，而把要记忆的主要结论即充要条件本身写在下一行。这样，本文的两个充要条件就可以像下面这样写出来：

定理一设A是n阶实矩阵，则：

A是正交矩阵的充要条件是A的列向量组是一个单位正交向量组。

定理二设U是n阶复矩阵，则：

U是酉矩阵的充要条件是U的列向量组是一个单位正交向量组。

从上面定理一和定理二的叙述也可以看出，如果省略最开始的大前提条件“设A是n阶实矩阵”和“设U是n阶复矩阵”，下面充要条件后面的文字叙述也是一样的，都是“列向量组是一个单位正交向量组”，从而容易引起疑惑。另外也可以看出，如果把定理二的大前提条件“设U是n阶复矩阵”加强为定理一的大前提条件“设A是n阶实矩阵”，则定理二酉矩阵的充要条件就加强成为定理一正交矩阵的充要条件了。

四、 结论

教师在内积空间的教学中应该主动向学生强调定理成立的大前提条件。

根据对以上定理1和定理2两个充要条件的分析，我们可以认识到，教师在内积空间的教学中，应该主动向初学这一部分内容的学生强调定理的大前提条件：如果是实内积空间的定理，应该强调定理的大前提条件是“向量是實向量”或“矩阵是实矩阵”；如果是复内积空间的定理，则应该强调定理的大前提条件是“向量是复向量”或“矩阵是复矩阵”。尤其是实内积空间的定理更应该强调定理的大前提条件，因为实向量比复向量更特殊、条件更强，实矩阵也比复矩阵更特殊、条件更强，从而成为定理的一个重要的前提条件，没有它定理就不成立。虽然有的学生也知道实内积空间和复内积空间中内积的定义有区别，但对本文提出的这两个充要条件他们还是不太容易一眼看出实质性的区别，原因就在于他们没有注意到这两个充要条件的成立是各自有其大前提条件的，只是在叙述中被省略了而已。所以，受以上分析的启发，教师在平时教学时就应该向学生强调，数学定理的叙述，为了方便记忆避免累赘，在上下文比较清楚不致引起误解的情况下，往往会省略一些文字，而这些文字往往蕴含着定理重要的大前提条件，没有这些大前提条件，定理就不能成立，要能从中体会得到，要能自己把这些省略了的文字添加出来。忽略了这些大前提条件，就容易对定理产生疑惑。平时学习数学时，就要特别加以注意这些在叙述上省略了文字的定理，以防止学习时以及日后复习时对这些省略了文字或省略了大前提条件的定理产生困惑。同时，教师在课堂上教学时，如果遇到在叙述中省略了大前提条件容易引起学生困惑的定理，也要主动为学生特别强调出大前提条件并添加出被省略了的文字。

参考文献：

[1] HORN R.A.and JOHNSON C.R.Matrix Analysis[M]. Second Edition. Cambridge： Cambridge University Press， 2013.

[2] 张禾瑞，郝鈵新.高等代数[M].第五版.北京：高等教育出版社，2007.

[3] 蓝以中.高等代数简明教程（下册）[M].第二版.北京：北京大学出版社，2007.

作者简介：

黄毅，四川省成都市，成都大学信息科学与工程学院，模式识别与智能信息处理四川省高校重点实验室，成都大学大数据研究院。endprint