从一道模拟题探究数列求和问题中∑ni=1an≤fn型不等式

摘要：浙江省高考数学最后一道压轴题由原来的导数转移到数列部分，它结合了不等式的性质及证明等知识，包含数列放缩的思想方法；对不等式的理解掌握要求高，要求考生有较高的探究发现、运算求解能力，试题难度大。其中关于数列求和的相关问题是重要的考查方向，本文通过一到模拟题归纳总结数列求和问题中∑ni=1an≤f（n）不等式的常规解法。

关键词：∑ni=1an≤f（n）型数列不等式；分析法；数学归纳法；构造法

课程改革以来，浙江省数学高考卷就以全面深入考查基础知识、基本技能、基本思想方法的命题原则，多层次、多角度的考查考生的思维能力及数学素养，充分体现了考基础、考能力、考素质、考潜能和以考生发展为本的考试目标；试题灵活，立意新颖，区分度高，选拔功能强。自2015年，浙江省高考数学最后一道压轴题由原来的导数转移到数列部分，它结合了不等式的性质及证明等知识，包含数列放缩的思想方法；对不等式的理解掌握要求高，要求考生有较高的探究发现、运算求解能力，试题难度大。其中关于数列求和的相关问题是重要的考查方向，数列求和问题常见的基本结构形式有如下2种：

①∑ni=1an≤k（k为常数）；②∑ni=1an≤f（n）；

对于第①种类型可根据题目特点利用等差模型、等比模型、错位相减模型、裂项相消模型等进行放缩证明，在本文不做研究。本文主要探究∑ni=1an≤f（n）型数列不等式涉及的方法和技巧，现从一道模拟题开始探讨：

例已知数列{an}满足a1=1，an+1=an+1an（n∈N*）。

（Ⅰ）求证：2≤a2n+1-a2n≤3；

（Ⅱ）求证：1a1+1a2+…+1an≤2n-1。

解析：（Ⅰ）由题易知{an}是正项数列；由递推公式an+1=an+1anan+1-an=1an>0所以{an}是递增数列即an≥1。an+1=an+1an两边平方得：a2n+1=a2n+1a2n+2a2n+1-a2n=1a2n+2∈[2，3]。

（Ⅱ）题是典型的∑ni=1an≤f（n）型数列不等式先通过下面三种方法解决这一问题：

方法1：利用分析法选择切入点：

（Ⅰ）中不等式累加可得：a2n≥2n-1，所以1an≤12n-1，利用裂项的技巧当n≥2时1an≤12n-1=222n-1≤22n-1+2n-3=2n-1-2n-3经过累加可证明结论。详细解答如下：

由（Ⅰ）可得：a2n-a2n-1≥2，a2n-1-a2n-2≥2，…，a23-a22≥2，a22-a21≥2，累加可得：a2n≥2n-1；

开方后取倒数1an≤12n-1=222n-1≤22n-1+2n-3=2n-1-2n-3；

所以当n≥2时从第二项開始放缩1a1+1a2+…+1an≤1+2×2-1-2×2-3+…+2n-3-2n-5+2n-1-2n-3=2n-1；

当n=1时显然成立；

综上所述1a1+1a2+…+1an≤2n-1。证毕

点评：数学问题是环环相扣的要善于发现题目中的内在联系，难点是不等式1an≤12n-1=222n-1≤22n-1+2n-3=2n-1-2n-3放缩，对不等式放缩技巧要求高，难度较大，我们是否可以在回归到题目中所给的条件，从另外的角度去寻找思路？下面所给的方法2和方法3就是从全新的角度去思考和探究：

方法2：数学归纳法

利用题目中条件可得1an=an+1-an，所以 1a1+1a2+…+1an=an+1-a1，只需用数归证an+1≤2n-1+1，此时可用归纳等法法进行证明。

详细解答如下：

由an+1=an+1an可知1an=an+1-an，

所以求证1a1+1a2+…+1an=a2-a1+a3-a2+an+1-an=an+1-1≤2n-1，

即证明：an+1≤2n-1+1，下面用数学归纳法证明：

当n=1时，a2=2≤2×1-1+1；

假设当n=k时，ak+1≤2k-1+1；

当n=k+1时，ak+2=ak+1+1ak+1≤2k-1+1+12k-1+1。

ak+2=ak+1+1ak+1≤2k-1+1+12k-1+1

下面证明： 2k-1+1+12k-1+1≤2k+1+1

12k-1+1≤2k+1-2k-1=22k+1+2k-1，

2k+1+2k-1≤22k-1+22≥2k+1-2k-1

=22k+1+2k-12k+1+2k-1≥1

因为2k+1+2k-1≥1（k≥2）恒成立，

所以2k-1+1+12k-1+1≤2k+1+1，

所以ak+2≤2k+1+1；

综上由数学归纳法可得：an+1≤2n-1+1，

所以1a1+1a2+…+1an≤2n-1。证毕

方法3：构造新的数列

我们都知道数列的前n项和是关于n的函数，反之对于f（n）我们可以把它看做是新数列{bn}的前n项和，验证bn≥1an，那么此结论不攻自破。

详细解答如下：

由（Ⅰ）可得：a2n-a2n-1≥2，a2n-1-a2n-2≥2，…，a23-a22≥2，a22-a21≥2，累加可得：a2n≥2n-1；

开方后取倒数1an≤12n-1；

构造新的数列{bn}满足：

bn=1n=12n-1-2n-3n≥2，

易知数列{bn}前n项和是2n-1；

当n=1时，b1=1≥a1；

当n≥2时，bn=2n-1-2n-3=22n-1+2n-3≥22n-1+2n-1

=12n-1≥1an；

综上所述bn≥1an；

所以1a1+1a2+…+1an≤b1+b2+…+bn=12n-1。证毕

方法3是形如∑ni=1ai

设Sn和Tn分别为数列{an}和{bn}的前n项和，显然，若an

本题中方法1和方法2都是用数列求和中常规的方法去解决问题，方法3是利用数列前n项和的函数特点构造新数列进行解题，对于同一道题目从多角度去思考感受数学的奥妙，感知探究的乐趣。数学是一门灵活开放的学科，它的思想方法没有一成不变的，本文中归纳的方法只是∑ni=1an≤f（n）型数列不等式常见的几种，有句话说得好：“生活不是缺少美，而是缺少发现美的眼睛。”数学学习也是如此，深入思考，挖掘问题的本质，才能融会贯通，达到“无招胜有招的”境界。

作者简介：

郝培德，浙江省杭州市，浙江省杭州学军中学。