“因式分解”教学探讨

李雪静��

摘要：因式分解是苏科版七年级数学（下）第9章“整式乘法与因式分解”里的一个内容，以前在老教材里因式分解是作为独立的一章出现的，而教材改革以后却不同，它现在仅作为“整式乘法与因式分解”这一章里的一个知识点出现。就整个数学而言，因式分解，不言而喻，它是打开整个代数宝库的一把金钥匙。

关键词：七年级数学；分析；建议；理念

《数学课程标准（实验稿）》虽然降低了因式分解的特殊技巧的要求，也对因式分解常用的方法作了删减，且公式法的应用中，由原来的5个公式减少到了现在的3个，尽管如此，却丝毫没有否定因式分解的教育价值及其在代数中的应用价值。在后面的分式学习中，因式分解是通分、约分所必备的基础知识；在解一元二次方程或高次方程、方程组、不等式中，因式分解是一种重要的解题方法；在研究代数式、三角式的恒等变形中，因式分解是主要手段之一……而它现在却仅仅作为整式乘法与因式分解里的一个内容，这就说明现在的要求越加严格了，这就需要我们全体初中数学老师要做到事半功倍，在最短的时间里教出最好的效果。

一、 教材分析

就本节内容而言，着重阐述了四个方面，一是因式分解的概念，二是与整式乘法的相互关系，三是因式分解的2种方法：提公因式法、公式法，四是因式分解的应用。它是在学生学习和掌握了整式的乘除法的基础上来探讨学习的，通过这节内容的学习，不仅使学生掌握了因式分解的概念，还会对不同类型的式子灵活采用适当的方法对其进行因式分解。它的学习为后面的分式学习、一元二次方程或高次方程等等的学习提供了重要的解题方法。因此，它起到了承上启下的作用。

通过情境教学，使学生在参与中激发学习情感，理解因式分解的概念，掌握提公因式法、公式法进行因式分解；理解因式分解与整式乘法的相互关系，灵活的应用因式分解的常用方法分解因式以及如何将多项式分解彻底。

二、 教学建议

《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》指出，“数学教学应结合具体的教学内容，采用问题情境—建立模型—解释应用与拓展的模式展开，让学生经历知识的形成与应用的过程……”因此，在教学中，应采用主体性学习的教学模式，给学生充分创设自主探究与合作交流的学习环境，让学生有充分的时间和空间去实践探索，通过动手操作，学会观察分析问题，在合作交流中体验成功，分享快乐。

1. 由于因式分解与整式的乘法是互逆的恒等变形，因此教师在引入概念时应引导学生观察、对比因式分解与整式乘法两者的联系与区别，归纳因式分解与整式乘法的变形特点，真正理解因式分解变形的目的和意义，在这基础上再添加一些辨别似是而非的恒等变形的题目，判断这些较明显的恒等变形是不是因式分解变形，从而达到掌握因式分解含义的目的。

【例】判断下列变形是否是因式分解变形，并说明理由：

（1）4x2-12x+9=4x（x-3）+9

（2）3x3+2x2+x=x（3x2+2x）

（3）（x+4y）（x-4y）=x2-16y2

在这个例题中，也许有一些同学认为前两个都是在因式分解，也许有一部分同学认为，这三个都是在因式分解，但真正的结果是怎样的呢？教师可以引导学生根据因式分解的意义，因式分解的结果一定是乘积的形式，让学生从形式上注意到这一点，就可以得出（1）不是在进行因式分解。（2）也不是在因式分解，虽然从形式上看，右边是乘积的形式，但不要忽略了一点：如果某一项就是公因式，被提取之后，不能把这一项提没有了，而应该考虑到最后分解的结果按多项式的乘法展开、整理后，等号左右两边的项数应该是一样的，所以这一项提走之后应该保留1，否则就不是恒等变形了。这就是我们所说的因式分解与整式的乘法是互逆的恒等变形之最佳体现——分解的结果是否正确可以用整式的乘法来检验。（3）也不是在因式分解，因为我们一再强调因式分解的结果一定是乘积的形式，也就是说等号的右边是乘积的结果，而本题却反了过来，那它就属于在进行整式的乘法了，倘若它的左右两边交换一下位置，就是因式分解变形了。教师此时再次强调，因式分解与整式乘法的联系与不同，学生就可以理解得更透彻了。

2. 本节的学习中“整体思想”起着重要的作用，例如，提取公因式法分解因式中，a既可以表示单项式，又可以表示多项式，这时就需要把这个多项式当成一个整体来充当公式里的a；用公式法分解因式，公式中的a，b也可以表示任意一个代数式。教学中教师应有意识进行渗透，使整体思想逐步成为学生在恒等变形中的有力工具，为今后的学习打下基础。例，因式分解6p（p+q）-4q（p+q），要注意本题除了系数有公因数外，还有一个含字母的公因式p+q，所以本题的公因式就是2（p+q），这里就将p+q当成一个“整体”来充当公式里的a了。如果本题改成：当p+q=2，p-q=-6 时，求6p（p+q）-4q（p+q）的值，那么整体思想就起到举足轻重的作用了。

3. 教学中应培养学生灵活应用因式分解方法的意识，并要把握住“十四字”方针：先看有无公因式，再看能否套公式。这就是说：在进行因式分解时，先考虑提公因式法，再考虑公式法。不管用什么方法进行因式分解，分解的结果都要分解彻底——不能再分解为止。

【例】将下列各式因式分解：

（1）3x4-6x3

（2）4x3y-xy3

（3）a2-4ab+4b2

按照我们的“十四字”方针，先考虑提公因式法，（1）和（2）都有公因式，所以先提公因式；之后应考虑括号里能否再用公式法因式分解，此时（1）已分解彻底，那么到此结束，而（2）的括号里却还可以用平方差公式进行分解，所以还要继续分解下去，一直分解到不能再分解为止。而（3）没有公因式，所以下一步应考虑公式法，它符合两数差的完全平方公式，所以用公式法对（3）进行分解即可。

4. 本节内容丰富，方法多、技巧性强。《数学课程标准（实验稿）》对因式分解虽有严格的界定，但根据我们苏州市的特殊情况，以及为了和高考接轨，所以我们教师在教学中需要补充十字相乘法、分组分解法、立方和与差的内容及系数不为1的类型，以达到增加本节内容的深度和广度的目的，让每个学生都能全面掌握因式分解的方法。让学生学有所值，学有所获。笔者在这里列举一些要利用以上各种方法解题的实例：

把下列各式进行因式分解：

（1）x2-3x-4

（2）2y2+10y-28

（3）2ax-10ay+5by-bx

（4）x3+x2y-xy2-y3

（5）m3-n3

（6）8a3-b3

（7）x2-y2-z2+2yz

5. 为了让一部分学有余力的学生得到更好的发展，体现教材的弹性，在确保完成新课标规定的目标的基础上，可以适当的增加一些有难度和深度同时又富有挑战性的题目，例如：

把下列各式因式分解：

（1）-12a3b+2ab3

（2）-4（x-2y）2+9（x+y）2

（3）an+1-an-1b4

（4）x6-y6

这样既可以扩大因式分解的方法又满足了这部分学生的求知欲，從而提高了因式分解的技能与技巧。

三、 教学理念

1. 本节的设计是一个开放的教学过程，通过创设情境，激发学习的内在动力；提供给学生动手操作、主动探索的机会，如试一试、做一做等一系列活动，结合学生已有的认知结构，让他们主动探究，通过观察、讨论、交流，从感知到理解因式分解，并能正确的进行因式分解，体现出学生的自主性。

2. 重视学生的感受。由于本节补充的内容较多，难以理解，所以让学生在充分讨论交流的基础上由学生自己来判断选择哪种因式分解的方法，从而实现新课标的以学生为主体的学习，同时还有意识地培养了学生分析问题、推理问题和归纳问题的能力。在解决问题中发展学生的数学思维，形成策略意识，体验成功的快乐。

参考文献：

[1]姜燕平.让数学课堂生动起来[J].成都教育学院学报，2006，（09）.

[2]朱俊杰.浅谈数学教学中的小组合作学习[J].中学教学参考，2014，（26）：20.

作者简介：

李雪静，江苏省苏州市，吴中区木渎实验中学。endprint