如何引导预科学生进行探究性学习

张清良��

摘要：本文针对少数民族预科学生学习数学的现状，通过利用分部积分法的教学探究，引导他们进行探究性学习，培养他们学习数学的主观能动性、学习兴趣和数学思维等。我们认为探究性学习对激发预科生学习数学热情、提高数学教学质量具有一定的实际意义。

关键词：预科学生；探究性学习；分部积分法

探究性学习是一种自主探索学习。它通常是指在教师的引导下，为学生针对教学过程的探索而开展的探究性学习，是教育教学改革的需要，也是实施素质教育的需要。在这种探究性学习过程中，需要学生通过自己的亲身体验、动手操作、合作交流，主动去发现问题，并创造性地解决问题。因此，这种探究性学习可以培养学生的创新发现精神和实践动手能力，也“具有更强的问题性、实践性和解决问题性”，也可以说这是探究性学习的核心。

一般来说，少数民族预科学生的数学基础比较薄弱，提高预科生对数学的学习兴趣，并很好地掌握吸收老师在课堂上所教授的数学知识，是当今预科教育老师所面临的重要问题。在推进教学教改的活动中，笔者发现在习题课讲解中开展探究性学习，往往会取得很好的教学效果。下面让我们介绍“在高等数学教学中，运用分部积分法探索探究性学习”。

一、 引导学生课前复习

1. 常用凑微分：-1x2dx=d1x，1xdx=2dx等

2. 微分公式应用：cosxdx=dsinx等

二、 分组进行学习讨论如下

1. 引导学生观察

对于某些不定积分的计算，如∫xexdx，∫xlnxdx，∫arctanxdx，∫excosxdx等，基本没有公式可循，也不便用换元法求解，常用另外一种积分方法求解。

设u（x），v（x）有连续的导数，由微分公式，有

d（uv）=udv+vdu

移项整理后，可得

udv=d（uv）-vdu

两边求不定积分，有

∫udv=∫d（uv）-∫vdu

这个公式称为分部积分公式。

2. 引导学生探究

实例1：求∫xcosxdx

解：设u=x，dv=cosxdx=dsinx，则v=sinx，

∫xcosxdx=∫xdsinx

=x·sinx-∫sinxdx

=xsinx+cosx+c

但如果设u=cosx，则dv=xdx，即v=x22

∫xcosxdx=∫cosxdx22

=x22·cosx-∫12x2（-sinx）dx

=x22cosx+∫12x2sinxdx

右端的积分比原积分更不容易求出，因此这种设法不好。恰当的选取u，v很重要，一般应注意：

（1）选取的v要容易求得出；

（2）∫vdu比∫udv容易积出，或者继续分部积分容易求出结果。

实例2：求∫excosxdx

解：

∫excosxdx=∫cosxdex

=excosx-∫exdcosx

=excosx+∫exsinxdx

=excosx+∫sinxdex

=excosx+exsinx-∫exdsinx

=excosx+exsinx-∫excosxdx

∴∫excosxdx=12ex（cosx+sinx）+c

在本例的求解过程中，我们发现若需多次用到分部积分法，则要求每一次都是对同一类型的函数凑成微分。反之，如果用不同的函数凑成微分，是求不出积分的。例如：

∫excosxdx=∫exdsinx

=exsinx-∫sinx·exdx

=exsinx-∫sinxdex

=exsinx-exsinx+∫excosxdx

=∫excosxdx

实例3：求∫sec3xdx

解：

∫sec3xdx=∫secxsec2xdx

=∫secxdtanx

=secxtanx-∫tanxdsecx

=secxtanx-∫tanx·secxtanxdx

=secxtanx-∫secx（sec2x-1）dx

=secxtanx-∫sec3xdx+∫secxdx

=secxtanx-∫sec3xdx+lnsecx+tanx+c

∴∫sec3xdx=12secxtanx+lnsecx+tanx+c

在计算某些积分时，往往要同时使用换元积分法和分部积分法才能完成计算。

实例4：求∫e3xdx

解：令3x=t，则dx=3t2dt

∫e3xdx=3∫t2etdt

=3∫t2det

=3（t2et-∫etdt2）

=3（t2et-∫2tetdt）

=3（t2et-2∫tdet）

=3（t2et-2tet+2∫etdt）

=3t2et-6tet+6et+c

=3e3x（3x2-23x+2）+c

在本例中，我们用到了两种计算不定积分的基本方法（换元积分法和分部积分法）。它告诉我们在求解不定积分的时候，往往会用到多种不同的积分方法。因此，我们要熟悉这些方法的典型类型以及典型解法，在解题时能够选择合适的方法来求解。

三、 学生分组总结的探究结论

分部积分法总结：

1. ∫p（x）exdx凑微分为∫p（x）dex。

2. ∫p（x）sinxdx，∫p（x）cosxdx分别凑微分为∫p（x）dcosx，∫p（x）dsinx。

3. ∫p（x）lnxdx，把p（x）dx凑微分，如：∫x2lnxdx=∫13lnxdx3。

4. 对于∫p（x）·反三角函数·dx，把p（x）dx凑微分。

5. ∫eaxsinbxdx，∫eaxcosbxdx可分别凑微分为∫eaxdcosbx，∫eaxdsinbx，或∫sinbxdeax和∫cosbxdeax。

6. 若需多次用到分部积分法，要求每一次都是对于同一类型的函数凑成微分。

7. 在计算某些不定积分时，要同时使用换元积分法和分部积分法。

四、 結论

在巩固原有基础知识的前提下，开展探究性学习，可以大大提高学生的主观能动性，让学生能够灵活地运用数学定理。这不但让学生主动参与到教学过程当中，还激发了他们的数学学习兴趣。探究性学习首先强调学生要积极思考、主动钻研；其次强调老师的正确引导。它对我们的教学活动具体十分重要的意义。用于开展探究性学习的题材有很多，只要我们能够认真分析，积极钻研，注意收集，结合学生实际情况，就能很好地推进它。

参考文献：

[1]杨志文.中学数学教学中开展探究性学习的几点思考[J].数学通报，2001，（11）：10-12.

[2]宁连华.数学探究学习研究的特点及其思考[J].数学教育学报，2005，14（4）：28-30.

[3]黄旭玲，等.数学教学中的研究性教学策略[J].数学与管理，2006，（21）：88-89.

作者简介：

张清良，湖南省吉首市，吉首大学民族预科教育学院。endprint