正态分布规范性的证明和应用

摘 要：本文给出标准正态分布的规范性的两种证明方法，作为应用，我们运用标准正态分布给出了π和e的近似计算方法。

关键词：正态分布；Gamma函数；规范性

正态分布在概率论与数理统计具有非常重要的地位。中心极限定理很好地体现了这一重要性。一般地，正态分布随机变量X的密度函数具有如下的形式

f（x）=12πσexp-（x-μ）22σ2，-∞0。此时，我们记X～N（μ，σ2），如果μ=0，σ=1，则x的密度函数为φ（x）=12πe-x22，-∞

证明方法一：

由积分的性质我们知道：

∫∞-∞e-x22dx2=

∫∞-∞e-x22dx·∫∞-∞e-y22dy=∫∞-∞∫∞-∞e-x2+y22dxdy

令x=rcosθ，y=rsinθ，其中r>0，0≤θ≤2π，则

∫∞-∞e-x22dx2=∫∞0∫2π0e-r22rdrdθ=2π。

规范性得证。

证明方法二：

下面我们借助Gamma函数的工具来证明标准正态分布的规范性。Gamma函数的定义为Γ（x）=∫∞0tx-1e-tdt。Gamma函数Γ（x）满足如下的余元公式

Γ（1-x）Γ（x）=πsin（πx），0

在上式中令x=0.5，则Γ（0.5）=π。在Γ（x）=∫∞0tx-1e-tdt中，令t=s2可以得到

Γ（x）=2∫∞0s2x-1e-s2ds，

故π=Γ（0.5）=∫∞-∞e-s2ds。再令，s=t/2，则π=Γ（0.5）=∫∞-∞e-t22dt/2，即∫∞-∞e-t22dt/2π=1，标准正态分布的规范性得证。为了证明一般正态分布N（μ，σ2）的规范性，在∫∞-∞e-t22dt/2π=1中，令t=（x-μ）/σ，即x=σt+μ，则有

∫∞-∞12πσexp-（x-μ）22σ2dx=1。

标准正态分布的应用：

设X～N（0，1），则

E（|X|）=∫∞-∞|x|12πe-x22dx=2∫∞0x2πe-x22dx=-22π∫∞0e-x22d-x22=2π，

E（eX）=∫∞-∞ex12πe-x22dx=e∫∞-∞12πe-（x-1）22dx=e.

π和e是数学中两个非常重要的常量，借助于上面得到的公式，我们可以给出

π和e的近似值。设（x1，x2，…xn）是由标准正态分布N（0，1）生成的随机数，则

1n∑nk=1|xk|可以作为E（|X|）的估计值，而π=2/（E（|X|））2，所以2/1n∑nk=1|xk|2可以作为π的近似值。同理，1n∑nk=1exk2可以作为e的估计。

参考文献：

[1] 茆诗松，程依明，濮晓龙，概率论与数理统计教程[M].高等教育出版社，2011.

[2] 李贤平.概率论基础[M].高等教育出版社，2010.

[3] 杜海霞.贯穿概率论的n重贝努里概型[J].价值工程，2014年29期.

[4] 王君.概率论伯努利概型课堂教学中的思維训练设计[J].新疆师范大学学报（自然科学版），2011（03）.

[5] 孔运，王渊.伯努利试验的推广及应用[J].科技传播，2013（24）.

[6] Amir Dembo， Ofer Zeitouni， Large Deviations Techniques and Applications[M]. Springer， 1998.

作者简介：

刘小艳，江苏省扬州市，江苏省邗江中学。