命题须严谨解题应反思

杨丽娟��

摘要：各类试题的命制应遵守科学性原则，其表述必须科学严谨，杜绝科学性、技术性错误，但笔者发现近年各种教学资料及中高考试题中，总会出现一些令人失望的试题，就此择其一二作一点评。

关键词：命题；严谨；解题；反思

引题：如图，△ABC的周长为24，面积为48，求它的内切圆的半径（苏科版教材九年级上册第74页第11题）。

命制此题的原意是考查三角形面积公式S=pr，其中p为三角形半周长，r为内切圆半径，因此，容易求得内切圆半径r=4。但仔细一想，此时，内切圆面积为16π，竟然比三角形面积大！

进而思考，若记△ABC的三边长为a，b，c，p=12（a+b+c），则由海伦公式S=p（p-a）（p-b）（p-c），及（p-a）（p-b）（p-c）≤（p3）3可知，当a=b=c时，Smax=39p2，所以若三角形的周长一定，则当三角形为等边三角形时，面积有最大值39p2，从而内切圆半径r≤39p，由此可知原题两个数据相互矛盾！

上述习题，笔者不妨称之为“问题”题，联想到近年各地中考试题中，也有类似试题，笔者选取数题，抛砖引玉。

一、 命题不知“错”滋味，为求“衔接”强编题

例1（2014·江苏南通）已知实数m，n满足m-n2=1，则代数式m2+2n2+4m-1的最小值等于。

点评与解析：当年评分的标准答案是-12。其实不然，将n2=m-1，代入原式=m2+6m-3=（m+3）2-12，再由n2=m-1≥0得m≥1，故取m=1得原代数式的最小值为4，即答案为4，因此笔者认为此知识点属于高中数学中有关二次函数图像在某个区间内的最值问题。

二、 数形结合考思想，画虎不成反类犬

例2（2015·四川资阳）如图，AD、BC是⊙O的两条互相垂直的直径，点P从点O出发，沿O→C→D→O的路线匀速运动，设∠APB=y（单位：度），那么y与点P运动的时间x（单位：秒）的关系图是（）

点评与解析：标准答案是选B。但笔者仔细观察发现，选项中的四个图像似乎均为直线形，即为一次函数的图像，而当点P沿O→C运动及沿D→O运动时，由tan∠APB=AOOP，其中AO是常量，OP是变量，故∠APB的变化函数是一个反三角函数的图像，并非如原题图像那么简单，所以本题是道错题。

三、 特殊情形猜一般，思维误导负迁移

例3（2015·江苏扬州）如图1，直线l⊥线段AB于点B，点C在AB上，且AC∶CB=2∶1，点M是直线l上的动点，作点B关于直线CM的对称点B′，直线AB′与直线CM相交于点P，连接PB。

（1） 如图2，若点P与点M重合，则∠PAB=°，線段PA与PB的比值为；

（2） 如图3，若点P与点M不重合，设过P、B、C三点的圆与直线AP相交于D，连接CD。求证：①CD=CB′；②PA=2PB；

（3） 如图4，AC=2，BC=1，则满足条件PA=2PB的点都在一个确定的圆上，在以下两小题中选做一题：

①如果你能发现这个确定圆的圆心和半径，那么不必写出发现过程，只要证明这个圆上的任意一点Q，都满足QA=2QB；

②如果你不能发现这个确定圆的圆心和半径，那么请取几个特殊位置的P点，如点P在直线AB上、点P与点M重合等进行探究，求这个圆的半径。

图1图2

图3图4

点评与解析：第（1）题答案是∠PAB=30°，PA∶PB=2；第（2）题①由圆内接四边形的性质得∠CDB′=∠CBP，所以∠CDB′=∠CB′D，根据等腰三角形的判定得到CD=CB′；②作B′E∥PC交AC于E，连接BB′交PC于F，利用对称性质得FB=FB′，PB=PB′，而CF∥B′E，则CF为△BEB′的中位线，所以BC=CE，加上AC=2BC，所以AE=EC，然后利用B′E∥PC，则AB′=PB′，所以PA=2PB′=2PB；第（3）题属于难题，通过分析可知，此圆圆心O在AB延长线上，且OB=1，半径为2，当点Q在⊙O上时，连OQ，则由OQOA=OBOQ=12，又∠QOB=∠AOQ，可证△AQO∽△QBO，从而QA=2QB。

命题人的意图可能是考查从特殊到一般以及归纳猜想的数学思想，想让考生从第（1）（2）问猜想得第（3）问的答案，从思维的迁移性分析，笔者以为，大多考生会猜想此圆必过B、C两点，其实不然，这是一种典型的“负迁移”！本题是从著名的数学问题“阿波罗尼斯圆”改编而来，正确的思路是：此圆必过点C，再延长AB至D，使DB=AB=3，则此点也符合条件，进而猜想“这个确定圆的圆心和半径”。

综上所述，在平时的教学乃至中高考中难免有错题出现，有的错题具有较强的迷惑性，因而我们在运用概念、定理、法则进行判断、论证或运算时，一旦出现错误就较难觉察，这样就容易给学生产生误导，影响了学生思维的形成和发展。所以我们要研究错误的特征，以防患于未然。

作者简介：

杨丽娟，江苏省启东市吕四中学。endprint