数列周期性的应用略谈

吕若虚��

摘要：数列具有函数的有关性质，利用函数的性质来求和、求数列的通项公式、求数列中的某些项，可以大大减小运算量，简化过程，从而有效地解决诸多的数学难题，收到事半功倍的效果。

关键词：数列；函数；周期性

一、 求和问题中的应用

例如已知数列{an}，a1=1，a2=2，an=an-1-an-2（n∈N+且n≥3）。（1）求a3，a4，a5的值，（2）求S100的值。

解：（1）由已知的递推关系得：a3=a2 -a1 = 2-1=1，

a4= a3-a2 =1-2=-1，a5=a4 - a3=-1-1=-2.

（2）由递推关系an=an-1-an-2，学生会感觉跟斐波那契数列十分相似，但其实二者本质上是不同的。后者Fn+2=Fn+1+Fn（n=0，1，2，…）是典型的递增的数列，而前者则是周期数列。

an=an-1-an-2= （an-2-an-3） -an-2=-an-3

得：an=- an-3，同理得：an-3 =-an-6

所以an = an-6

因此認为数列的周期T=6

a6= a5- a4=-2-（-1）=-1

方法一：an=an-1-an-2， an-1= an-2-an-3，…，a3=a2 -a1，这n-1个式子相加得：an+an-1+…+a3=an-1-a1

Sn=an-1+ a2（n∈N+且n≥2）

S100=a99+a2=a16×6+3+a2=a3+a2=1+2=3=a16×6+3+a2

=a3+a2=3

数列{an}的周期T=6，由此可以求出数列{an}通项an=a6k+r=ar（r=1，2，3，4，5，6），数列前n项的和Sn=an-1+ a2（n∈N+且n≥2）。

二、 应用周期性求数列的通项公式

例如：有数列如下，求其一个可能的通项公式：

（1）1，0，-1，0，1，0，-1，0，…﹔

（2） a，b，a，b，a，b，…；

解：（1）数列的前八项，每隔四项就重复出现一次，所以可以认为数列的周期是T=4，由此可以联想起三角函数，振幅为A=1，设y=sinωx

由于周期T=4，得：4=2πω，ω=π2

因此可能的一个通项公式为：an=sinnπ2（n∈N+）

（2）本题的通项公式有多种；

①an =a+b2+（-1）na-b2（n∈N+）；

② 认为是分段函数

an∈2k+1k∈N+

bn∈2kk∈N+

③数列的前六项，每隔两项就重复出现一次，所以可以认为数列的周期是T=2，由此会联想到三角函数。

an= a+b2-a-b2cosnπ（n∈N+）

三、 求数列中的某些项的应用

已知实数列{an}满足a0=a，a为实数，an=3an-1+13-an-1（n∈N）求a2009。

原来的解法： a1=3a0+13-a0=3a+13-a

a2=3a1+13-a1=a+31-3a，a3=3a2+13-a2=-1a

a4=3a3+13-a3=3-1a+13--1a=-3+a3a+1

a5=3a4+13-a4=3a-1a+3

a6=3a5+13-a5=33a-1a+3+13-3a-1a+3=a

∴a7=a1a8=a2a9=a3…

于是对于任意正整数k有 a6k+r=ar（r=0，1，2，3，4， …）

2009=6×334+5

∴a2009=a5=3a-1a+3

上述解题过程和最后得出的答案并没有问题，但是多是机械操作，计算量也较大，显得繁琐。如果利用函数的思想和方法来解决问题，就简捷得多了。

方法一：

如果将上面的a3替换为an，a0替换为an-3得到：

an=-1an-3同理得：an-3=-1an-6

所以得到：an=an-6

用函数的思想认识an=an-6时，很显然数列{an}的周期T=6。

2009=6×334+5

∴a2009=a5=3a-1a+3

参考文献：

[1] 刘培杰.数列的周期性.中等数学，2015，6.

[2] 朱树兵.数列的周期性及其应用.第二课堂（高中版），2007，1.

作者简介：吕若虚，山东省东营市，山东省广饶县第一中学。endprint