我的“恒成立”问题

邱浩��

摘要：恒成立问题是高中数学一种常见题型，在高三的模拟考试和全国各地的高考中屡有出现，是高三复习的重点也是难点，解决好恒成立的问题，需要扎实的基础知识，但也需要掌握一些典型的方法。恒成立问题考查函数不等式等知识以及转化化归等数学思想，因此备受命题者青睐。本文将恒成立问题的几种典型的方法略作归纳。

关键词：教学方式；教学案例；公式

方法一、构造函数

1. 确定主要元素，利用函数单调性解决。

例1求使不等式x2+px+1>2p+x对于|p|≤2恒成立的x的取值范围。

分析：多元不等式问题求解的关键在于确定哪个元素为主要元素。这个问题的常见错误是把它当成关于x的不等式讨论。正确的是将p作为主要元素，就可转化为关于p在[-2，2]内的一次函数大于0恒成立的问题。

解：不等式化为（x-1）p+x2-2x+1>0，

令：f（p）=（x-1）p+x2-2x+1，

轉化为：f（p）=（x-1）p+x2-2x+1>0在[-2，2]上恒成立

解得f（-2）>0

f（2）>即x2-4x+3>0

x2-1>0

得：x>3或x<1

x>1或x<-1

∴x<-1或x>3。

2. 构造二次函数，利用根的分布来解决。

例2不等式sin2x+acosx+a2≥1+cosx对一切x∈R恒成立，若a<0，求a的取值范围。

分析：这类和三角函数综合的问题，思路要明确，首先有换元思想，构造成二次函数，可以参照其图像来解决。

解：不等式可化为：cos2x+（1-a）cosx-a2≤0

令：cosx=t，因为x∈R，所以t∈[-1，1]，

设f（t）=t2+（1-a）t-a2

即f（t）=t2+（1-a）t-a2≤0在t∈[-1，1]上恒成立

得a<0

f（1）=1+1-a-a2≤0

f（-1）=1-（1-a）-a2≤0

a<0

a≤-2或a≥1

a≤0或a≥1a≤-2

故所求的a的范围为（-∞，-2]。

方法二、分离变量，求函数的最值的方法。

例4已知二次函数f（x）=ax2+x+1对x∈[0，2]恒有f（x）>0，求a的取值范围。

分析：分离变量是一种很典型的方法，在把变量分离之前，一定要注意能否分，分了之后不等式的符号能否确定，必要时候还要进行讨论，本题就结合了分类讨论的思想进行分离变量。

解：对x∈[0，2]恒有f（x）>0即ax2+x+1>0变形为ax2>-（x+1）

当x=0时对任意的a都满足f（x）>0只需考虑x≠0的情况

a>-（x+1）x2即a>-1x-1x2

要满足题意只要保证a比右边的最大值大就行。

现求-1x-1x2在x∈（0，2]上的最大值。令t=1x

∴t≥12

g（t）=-t2-t=-t+122+14（t≥12）

g（t）max=g12=-34所以a>-34

又f（x）=ax2+x+1是二次函数∴a≠0

∴a>-34且a≠0

方法三、数形结合，直观求解。

例5不等式ax≤x（4-x）在x∈[0，3]内恒成立，求实数a的取值范围。

解：画出两个函数y=ax和y=x（4-x）在x∈[0，3]上的图像，如图：

知当x=3时y=3，a=33

当a≤33x∈[0，3]时总有ax≤x（4-x）所以a≤33

作者简介：邱浩，江苏省句容市，句容市第三中学。endprint