反例在代数教学中的作用

摘 要：本文通过一些实例说明反例在数学教学中的实际应用。

关键词：反例；数学；教学

反例是相对于某个全称命题的概念，要说明一个命题是假命题，通常可以举出一个例子，使之具备命题的条件，而不具有命题的结论，这种例子称为反例。数学中，反例常被用于证明之中。有许多数学猜想或命题的叙述是全称命题，当证明这样的数学猜想遇到困难时，数学家会趋向于寻找一个反例，以说明这个猜想是错误的。

在数学教学中，反例有相当重要的作用。条件的强弱，适用范围的大小，都要通过反例加深理解。本文通过一些实例说明反例在数学教学中的作用。

例1 矩阵乘法不满足消去律的反例。令

A=1-1-11，B=1212，C=0000。

那么A≠O，AB=O=AC。但是B≠C。

例2 矩阵相似而不合同，合同而不相似的反例。

即A与B相似。但A与B不合同，这是因为如果A与B合同，则有可逆矩阵P使得B=PTAP成立，那么

BT=（PTAP）T=PTATP=PTAP=B。

但显然BT≠B。矛盾。

即A与B合同，但A与B的特征值分别为1，2和1，8，所以A与B不相似。

例3 最小多项式相同的矩阵不一定相似的反例。

如果矩阵A与B相似，那么有可逆矩阵T，使得B=T-1AT成立，于是对任一多项式f（x），

f（B）=T-1f（A）T。

因此，f（B）=O当且仅当f（A）=O。这说明相似的矩阵有相同的最小多项式。但是，如果矩阵A与B有相同的最小多项式，则A与B相似这个结论并不成立。下面给出反例。

由于若尔当块11

01的最小多项式是（x-1）2，所以A与B的最小多项式分别是（x-1）2，（x-1），（x-2）和（x-1）2，（x-2），（x-2）的最小公倍式。

因这两个最小公倍式都等于（x-1）2（x-2），故得A与B有相同的最小多项式。另一方面，A与B的特征值分别为1，1，1，2和1，1，2，2，所以A与B不相似。

例4 环的同态满射不保持有没有零因子这一性质的反例。考虑环（Z，+a，b·）到（Z6，+a，b·）的同态满射

φ：a

MT ExtraaA@ [a]。

我们知道，Z没有零因子。由于[2]≠[0]，[3]≠[0]，但是[2][3]=[0]。故Z6有零因子。

另一方面，考虑环（Z2，+a，b·）到（Z，+a，b·）的同态满射

φ：（a，b）

MT ExtraaA@ a。

其中Z2的代数运算是

（a1，b1）+（a2，b2）=（a1+a2，b1+b2），

（a1，b1）（a2，b2）=（a1a2，b1b2）。

显然，Z2的零元是（0，0）。我们有

（1，0）≠（0，0），（0，1）≠（0，0）。

但是

（1，0）（0，1）=（0，0）。

故Z2有零因子。但是Z没有零因子。

参考文献：

[1]北京大学数学系.高等代数[M].第四版.北京：高等教育出版社，2013.

[2]刘绍学.近世代数基礎.北京：高等教育出版社，1999.

作者简介：

吴捷云，广东省潮州市韩山师范学院数学与统计学院。endprint