加权平均指数跳—扩散模型下障碍期权的数值解

摘 要 路径依赖型期权的解析定价是期权定价的核心问题。将双指数-跳扩散模型进行延伸，提出加权平均指数跳-扩散模型。模型中，资产价格的跳跃为指数分布的加权平均。在风险中性测度下，给出上升入局看涨障碍期权的定价公式，然后对上升入局看涨障碍期权价格做二重拉普拉斯变换，并利用欧拉反演算和蒙特卡罗模拟两方法种得到了上升入局看涨障碍期权价格的数值结果。数值结果表明，欧拉反演算法得到的数值结果均在用蒙特卡罗模拟法得到的数值结果的置信水平为95%的置信区间内。其它障碍期权的价格可类似得到。

关键词 加权平均指数 跳-扩散模型 障碍期权 二重拉普拉斯变换 欧拉反演算 蒙特卡罗模拟

中图分类号：O241 文献标识码：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdkx.2017.12.024

Abstract The analytical pricing of path-dependent options is the core issue of option pricing. The dual index - jump diffusion model is extended， and the weighted average index jump - diffusion model is proposed. In the model， the jump in asset prices is a weighted average of exponential distributions. Under the risk-neutral measure， we give the pricing formula of the ascending call-in-option and do the double Laplace transform to the price of the ascending call-in option. We use the Euler inverse and Monte Carlo simulations the numerical result of an ascending call-in-option price. The numerical results show that the numerical results obtained by the Eulerian inversion algorithm are all within the 95% confidence interval of the confidence level of the numerical results obtained by the Monte Carlo simulation. Other barrier options can be similarly priced.

Keywords weighed average exponential； jump-diffusion model； barrier option， double laplace transform； Euler inversion algorithm； Monte Carlo simulation

众所周知，Black-Scholes期权定价模型是在一些理想的假设条件下给出的，如假设资产价格服从正态分布，这些理想条件使得基于Black-Scholes期权定价模型的期权价格与实际市场价格有明显的偏差。很多金融学者对B-S模型进行了推广，如Merton的跳扩散模型、[1]S. Kou的跳扩散模型[2]和双指数跳扩散模型[3]等，这些模型中假设标的资产价格的跳跃高度是独立同分布的，这与实际情况也有较大偏差。事实上，与正态分布相比，資产收益分布有厚尾现象，但到底有多“厚”是不清晰的。

障碍期权是一种路径依赖型期权，这种期权是否有效取决于标的资产价格在一段特定时间内是否达到了某个特定的水平（临界值），这个临界值就称为障碍水平。继Black-Scholes模型后的很多模型能给出欧式看涨和看跌期权的解析解，但对于路径依赖型期权的解析定价却很难，甚至对这些衍生物的数值方法也不容易，如P. Carr的Levy过程下的障碍期权定价、[4]L.Nguyen-Ngoc的指数Levy过程下奇异期权的定价，[5]D. Davydov的CEV过程下路径依赖型期权定价、[6]张利花在路径依赖型期权定价模型和方法研究[7]中用总体最小二乘拟蒙特卡洛模拟方法对期权定价等。因此，给出一类跳跃幅度能接近任意分布且容易得到路径依赖型期权的解析解的跳-扩散模型是必需的。由于加权平均指数分布能近似任何分布，包括正态分布、各种各样的厚尾分布和离散分布。因此我们给出加权平均指数跳-扩散模型，模型中，资产价格的跳跃为指数分布的加权平均。

4 障碍期权价格的数值结果

为了得到上升入局看涨障碍期权价格的数值解，我们用双向二维欧拉反演算[14]和蒙特卡罗模拟[15][16]两种方法反求（6），数值结果见表（1）。表中EI表示欧拉反演算法，MC表示蒙特卡罗方法，MCSE表示蒙特卡罗标准误差。MC模拟值是通过模拟10000次和使用步长为0.00005估计得到的，为控制变量。所计算EI数值解和MC模拟值的运行时间分别为6秒和2分，MC模拟值运行时间相对长一些。从表1中可以看到，利用欧拉反演算法得到的数值结果均在用蒙特卡罗模拟法得到的数值结果的置信水平为95%的置信区间内。

参考文献

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