单组份玻色-爱因斯坦凝聚体基态稳定性研究

温建蓉， 李晋斌

(南京航空航天大学 理学院，南京 211106)

近几年，对玻色-爱因斯坦凝聚体[1](BEC)研究引起了人们的广泛关注，包括了一系列有趣的现象，如BEC稳定性[2]，集体激发[3]等，都涉及到了BEC内原子之间和原子与外势之间相互作用，由于单组份粒子状态比较简单，研究相对方便，物理工作者对单组份BEC在不同势阱作用下的动力学性质[4]进行了深入研究，包括倾斜光晶格势阱中单组分BEC性质研究，简谐势阱下的研究等.而研究的立足点都是基于平均场近似的Gross-Pitaevskii Equation(GP方程)[5]，GP方程将原子内部复杂的势能归结为赝势表示，将原子视为半径为a的硬球，散射长度接近硬球半径a,即s波散射长度.

本文主要研究在一维各向同性的简谐势阱中的单组分玻色-爱因斯坦凝聚体基态的稳定性现象.之前人们讨论稳定性的方法一般是假定一个含时的波函数[6],运用最小作用量原理来定波函数中的参数，以此来讨论凝聚体的稳定性.本文不采取讨论含时的波函数的方式，而是从假设较精准的近似定态波函数出发，讨论能量极小值的条件，并得出了一些新的解及结论.

1 系统的理论描述

BEC理论表明原子间的作用是非线性的，对于原子间存在弱相互作用的BEC凝聚体[7]，它将服从非线性波动方程(即Gross-Pitaevskii方程，简写为GP方程),这个方程是一个非线性的薛定谔方程[8].具有弱相互作用的BEC基态满足的GP方程形式如下

(1)

在各向同性的简谐势场下，我们讨论一维形式的GP方程，将实际的波函数近似为线性谐振子的基态波函数并运用归一化条件对x,y方向积分，可得

(2)

(3)

E⊥是x,y方向的积分常数，可以将其归入μ中而不改变波函数.

2 数值处理

(4)

由于外势能是对称的，且散射项是各项同性的，所以波函数是对称的，设归一化的粒子分布密度为

(5)

可知波函数为

(6)

其中，σ为凝聚体的宽度，假设在|x|大于等于σ时，没有原子存在，即φx=0.σ不是独立存在的，它会随着散射强度的改变而改变，这是因为费什巴赫共振[9]能够强烈的影响原子的散射长度，原子间作用可能从吸引连续变为互相排斥，也就是散射长度会由负变正，又有g∝a，所以当散射强度增大时，实际的宽度由于整体排斥会使凝聚体宽度增大，而由于整体吸引作用，则会使凝聚体宽度变小.假设

(7)

在Thomas-Fermi(TF)近似[10]下动能项可以忽略，并以φxt，μt表示Thomas-Fermi近似下的波函数和化学势，则方程(4)变为

(8)

所以有

(9)

(10)

(11)

此时的波函数可以写为

(12)

在Ketterle文献[11]中有结论得出g=0.3 Hz·m或者g=0.6 Hz·m时TF近似得出来的波函数结果与数值计算得出的十分符合.而在g=7.5×10-7Hz·m 时，TF近似与数值计算的结果相差甚远，文章中原子为Rb，质量为87，ω=1 000 Hz，L单位为6×10-7m,所以无量纲化后的g的量级在103时，波函数与二次方程是符合的，当g的量级在10-3时，波函数不符合二次方程，所以假设归一化波函数在g十分大时的形式为

(13)

依据变分原理，系统能够形成稳定的凝聚体，式(4)中的μ应该存在极小值，化学势为

(14)

将式(5)、(6)代入式(14)，可得

(15)

显而易见，μ中的变量有凝聚体x方向宽度σ和一维散射强度g.凝聚体稳定时的状态应当满足的条件是：当散射长度一定时，化学势取到极小值.即求使dμ/dg=0的g的值.满足这个条件的一维散射强度g一定处于稳定状态，因为在处于化学势极小值的时候，即使在受到一定的扰动时，系统最终还是会重新达到能量极小的状态.

3 结果与分析

为了得到f(g)的具体形式，我们用数值方法[12]求解方程(4)并定义了数值解下凝聚体的宽度式(16)，然后用数值解的凝聚体的宽度减去TF近似解的宽度，最后用曲线拟合出f(g)的具体表达式(17)

(16)

(17)

图1 虚线表示TF近似下的凝聚体宽度， 实线表示数值解的宽度

将式(17)带入式(7)中，便知道凝聚体宽度随散射强度的变化方式了,此时σ(g)随g的增大是一直在增大的.图1是数值解与TF近似解的宽度的对比图.

从图1中可以看出，凝聚体的宽度随着g的增大逐渐增大，数值方法与托马斯费米近似下的凝聚体宽度之间的差值逐渐减小趋于0,此后，托马斯费米近似下宽度逐渐大于数值解下的宽度，但差值的绝对值保持在1左右.

将式(7)、(17)代入式(15)中，可知道μ只随g变化，于是做出g小于0时，势能随g变化的图，如图2以及图3所示.

(18)

其中，ω⊥是x,y方向的圆频率约为942 rad·s-1，ω是z方向的圆频率约为816 rad·s-1，此时对应的N为884个，也就是7Li原子的稳定状态时的原子数为884，数量是在650到1 400之间.

图2 一维散射强度为负时的化学势随g的变化图，g的范围是-1.8到-0.2

图3 一维散射强度为负时的化学势随g的变化，g取值范围是-10到0

从图2、图3中可看出，随一维散射强度的变化，化学势有一个明显的尖峰，所以当g为负值的时候，随着g的绝对值连续增大(通过连续调节散射长度a使吸引作用增大时)，会遇到一个化学势极其高的状态(g为-4.7)，这时凝聚体十分的不稳定很容易塌缩，也就是说凝聚体不可能通过连续的变化产生g比-4.7小的状态.而在g大于-4.7小于0时，都是有可能存在的状态，但是凝聚体最终会稳定在g为-1.15的时候，因为此时的化学势最小，凝聚体是可以稳定的.

4 结语

Ketterle文章中关于波函数与二次函数的结论中，我们知道Thomas-Fermi近似下得出的概率密度在g很小时是不成立的，下面简单计算了TF近似的成立条件，由式(4)、(8)、(9)可得出

(19)

令φ°=φx-φxt，因为每个不同的g值对应下的φx都会有对应的TF近似，所以在不同的g值下都会有一段长度内φ°趋于0，于是舍弃掉2φ°2φxt以及φ°3，即φx3-φxt3=2gφxt2φ°，化简，并利用级数解法可得出首项系数及收敛范围

(20)

(21)

x在凝聚体宽度范围内取值时，级数都收敛，取a0项.我们是在φ°十分小时舍去非线性项，所以当φ°绝对值小于等于0.1时认为假设成立的，此时的g为2.5，所以认为g大于2.5时可以认为TF近似是好的近似.

本文在数值计算和托马斯费米近似两种方法结合下分析求解了GP方程，通过讨论化学势分析玻色-爱因斯坦凝聚体基态稳定性条件.随着g不断变化过程中，化学势在g为-1.15时取得极小值，此时凝聚体状态稳定，并且计算了此时7Li原子的凝聚原子数目；而在g为-4.7时，凝聚体很不稳定容易塌缩，但BEC基态最终会在化学势最小的状态稳定.稳定性作为BEC动力学问题重要的研究现象，我们也期待能够在理论和实验上进行更进一步的探索.

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