函数与方程思想的应用

摘 要：函数是用来描述存在于现实的重要变化规律的一类模型，而函数的思想可以帮助人们了解函数的相关概念与内涵，即站在函数的角度来分析问题并加以解决。方程的思想可以帮助人们了解方程的相关概念与内涵，即站在方程的角度观察问题并进行处理。教师在教学过程中指导学生们将数学的思想进行灵活应用，利用函数与方程的思想处理数学问题，激发学生们对于数学的热爱与兴趣，从而提高高中生的思维综合能力。

关键词：高中数学；函数与方程；数学思维

函数思想在高考数学之中占据着极为重要的地位，要求学生们通过多样化的工具对数学问题进行分析与研究，明确各个变量之间的关系，构建出合理的数学模型，最终使得问题得以简化与解决。方程的思想则要求解题者根据具体条件出发，通过恰当的数学语言把数学问题转化为简易的数学模型，利用数学中的方程知识对问题进行处理。学生遇到问题时应当学会将函数与方程思想进行结合，建立已知与未知的关系，使得问题简化。

一、 函数与方程思想教学途径

（一） 充分挖掘教材中的函数与方程思想

函数与方程的思想是非常实用的，然而其本质又非常隐秘，因此数学老师们一定要深入展开研究，将蕴含于叫蔡志忠的函数与方程思想的应用展示给同学们。教材之中的重点内容数列也是一种非常特殊的函数，其定义域为全体自然数，现阶段的数学教育也十分重视数列同函数的关系，诸如等差数列和一次函数存在联系；等比数列同指数函数存在关联。

例如在人教版数学教材之中就有章节介绍了站在函数的角度分析方程，就能够将解方程的问题转化为求解函数零点。如此一来，求解方程根的问题也可以转化成函数图像同坐标轴横轴交点的问题，此类介绍可以为高中生今后接触“二分法”做出良好的铺垫。除此之外，教材中也重點强调了站在函数的角度分析一元二次不等式，研究线性规划等，高中数学老师应当积极探索教材之中隐含的函数与方程思想，将其进行剖析并展现在学生面前，让他们能够在日常学习中培养这一数学思维。

（二） 有意识地渗透函数与方程思想

在数学的世界徜徉时，必须要对数学思想进行总结与归纳，并在解题时灵活应用，才可以真正将理论转化成个人的技能，对数学有新的体会与感悟。很多研究资料都表示，我国的学生同其他欧美国家的学生相比，存在有“高分低能”的重大缺陷，这一现象必须要引起教育工作者足够的重视。例如在国际性的数学奥赛之中，通常都由我国包揽多届冠军奖项，然而在数学的专业研究领域之中，我国鲜有人才出现较大的突破。这种现象表明了我国数学教育过分注重解题能力，而忽略了对学生们数学思维、数学兴趣的培养。要想解决上述难题，最为基本而又十分关键的手段就是数学思想在教学之中的渗透与融合。

函数与方程的思想在数学领域具有十分重要的地位，也是解决数学问题的关键策略之一，它立足于数学理论，又高于数学基本理论。老师在进行课程指导时，应当着重强调函数与方程思想的建立，根据学生教材的实际内容，设计出不同的梯度的教学方法，有目的、有意识地展开培养。

例如在讲解人教版教材中线性规划的相关问题时，其本质即确定可行域之中目标函数的最值，当进行此类问题的处理时，就可以通过函数与方程的思想进行转化。当求解三角形的相关问题时，就转化为三角函数的问题展开处理。

二、 函数与方程思想解题应用

（一） 借“函”解“方”

图1 两个图像相交示意图数学之中常常可以利用函数的思想来处理方程问题，例如求解方程2-x+x2=3的实数解数量。我们面对这一问题时，就可以利用函数构造的手段实现问题的转化，还可以利用图像来加深对解题思路的理解，使得抽象的问题得以通过图像更加具体。可以构造两个函数，分别为f（x）=12x以及g（x）=-x2+3，作出它们的图像，如图1所示。这样就可以轻松将复杂的实数解数量问题通过函数的思想转化成两个图像交点的问题。

（二） 在解析几何中的应用

在数学的研究历程之中，起初利用平面曲线的例子总结了函数概念，然而当对函数概念展开更加精密、严格的处理后，同平面曲线存在着明显的差异。可是两者之间存在的联系仍然十分密切，因此函数与方程的思想可以用来处理解析几何问题。

例如炮弹射击的过程，在忽略空气阻力的情况下，其初始速度为800m/s，假设发射角保持为45°，请计算射程以及从发射开始到弹头着陆消耗的时间。

图2 炮弹射击的分析示意图

在解答这一道题目时，就可以利用函数与方程的思想。首先假设炮弹保持α的发射角，构建出如图2所示的坐标系。众所周知，倘若忽略空气阻力的影响，炮弹的运动可分解为沿射出方向的匀速直线运动以及竖直方向的自由落体运动。我们对两者进行分别求解。假设炮弹的初始速度为v0，方向保持射出方向。经历时间t到达了图1中的Q点，那么OQ=v0t。由于受到重力的影响，它实际上处于P点位置，则有|QP|=12gt2（g表示重力加速度）。

P点坐标为（v0tcosα，v0tsinα-12gt2），也就是x=v0tcosαy=v0tsinα-12gt2，令y=0，且将条件中的初始速度与角度代入，则可求解出t=115.45s，x=65286m。整个过程诠释了函数与方程思想的统一性。

总而言之，函数与方程思想在整个高中数学之中占据着关键性的地位。函数能够刻画各个变量之间的关系，针对问题建立合理的数学模型可以充分发掘出题目的隐含条件，在此基础上明确方程表达式，来展现函数的本质内涵，这是函数与方程思想的重要应用。学生们要想提高自身的数学解题能力，必然要灵活运用这一思想，为个人的数学能力做出良好的铺垫。

参考文献：

[1]邵光华.作为教育任务的数学思想与方法[M].上海：上海教育出版社，2009.

[2]李爽.在高中数学中函数思想的应用案例研究[J].数学学习与研究，2013（1）.

[3]潘政显.函数思想在高中数学中的应用[J].语数外学习（数学教育），2013（1）.

作者简介：

黄多贵，四川省巴中市，四川省巴中中学。