单摆法和自由落体法测量重力加速度和实验分析

【摘要】单摆法和自由落体法是测量重力加速度常用的两种方法。本文用这两种方法多次测量得到了达州地区重力加速数值，并对实验结果进行了对比分析。结果表明，自由落体法测得的重力加速度误差更小，测量方法简单。因此，自由落体法是实验室测量重力加速度相对更好的选择。

【关键词】重力加速度 单摆法 自由落体法

【中图分类号】O314 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2018）51-0157-02

1.引言

重力加速度是物理学中一个重要的参量，它从本质上反映了地球引力的强弱[1]。地球上各个地区的重力加速度数值随地理纬度和海拔高度的不同而有所差异。一般来说，赤道附近重力加速度数值最小，越靠近两极重力加速度数值越大。重力加速度最大值和最小值仅相差1/300。研究重力加速度的分布情况在地球物理学中具有重要的科学价值和实用意义[2]。准确测定重力加速度数值对计量学、地球物理学、地震预报、重力探矿和空间科学都有着重要的意义[3]。比如利用专门仪器，仔细测绘该地区的重力加速度数值的分布较弱的区域，可能存在石油或天然气。实验中，测量重力加速度数值的办法有很多，常见的方法是单摆法和自由落体法。

2.实验与讨论

2.1 单摆法测量重力加速度

实验原理：将一个金属小球悬挂在一根不可伸长的细长线末端。在细线长度远大于小球的半径、小球质量远大于细线质量的条件下，将悬挂的小球自平衡位置拉至一边（要求摆角小于5°），再由静止状态轻轻释放，摆球则在平衡位置附近做周期性的来回摆动，这就是单摆（如图1所示）。

令小球的质量为m，其质心到单摆固定点的距离为l（摆长），可知作用在小球上的切向力的大小为mgsinθ。当θ很小时，sinθ≈θ，则切向力的大小可改写为mgθ，根据牛顿第二定律，质点的运动方程为：

方程与简谐运动方程的形式一致，可由此得出简谐运动角频率ω为：

实验步骤：（1）测定摆线长L（用卷尺测三次，取平均值）；（2）测量球的直径d（用游标卡尺测量三次，取平均值），可求出摆长：l=L+d/2；（3）用光电计时器测量30个周期的时间t（测量三次30T=ti，取平均值）。实验数据和处理结果见表1。

2.2 自由落体法測量重力加速度

实验原理：闭合开关S吸住铁球，拉开S，球开始下落。下落到A门时毫秒计时器开始计时，下落到B门时停止计时。图2为装置示意图。

实验步骤：

（1）调节B门的竖直高度，令A，B门的距离为s1；（2）打开开关S，释放小球；（3）记录时间间隔t；（4）调节B门的位置（到C、D、E、F、G等处），多次重复步骤1、2和3。实验数据和结果见表2。

2.3 两种测量方法的误差计算和分析

达州地区的重力加速度参考值为9.7914m/s2，本实验用单摆法和自由落体法测量的重力加速度误差见表3。

从表3中可以看出，自由落体法得出的重力加速度误差更小。

单摆法测量重力加速度误差分析：

（1）小球可能不在同一个竖直平面内摆动，是一个“锥摆”，不是一个理想的单摆，周期测量值偏大，得出重力加速度数值偏小。

（2）摆角小于5°时，在实验精度范围内，不同摆角的周期与角度θ无关。实际上，单摆的周期T随摆角θ增加而增加。根据振动理论，周期可以表示为：

（3）悬线质量m0应远小于摆球质量m，摆球的半径r应远小于摆线长l，但是实验中的单摆不是理想的。根据理论推导，考虑上述因素时的摆动周期是[1]：

（4）复摆的修正。实验假定小球是一个质点，且不计摆线质量，实际上，从精确测量的角度分析，摆线质量并不等于零。小球半径也不等于零。所以实验中的单摆不是一个理想的单摆，而是一个绕固定轴摆动的复摆。其周期可用下式表示：

其中m是小球质量，μ是摆线质量，l是摆线长度，r是小球半径。周期误差的数量级为10-4。

（5）空气浮力的影响。考虑到空气的浮力，则周期为[1]：

ρ和ρ0分别为小球和空气的密度。可知周期与小球的材料有关，密度越大，影响越小。周期误差的数量级为10-4。

（6）考虑空气粘滞阻力和其它因素引起的摩擦力。单摆摆动时，由于受到空气粘滞阻力和其它摩擦阻力，单摆不是作简谐振动而是作阻尼振动，使周期增大。

自由落体法测量重力加速度误差分析：

（1）实验支架不是竖直，上下两光电门的中心不在同一条铅垂线上，落球不会通过A，B门的中点，会使时间测量值偏大，导致重力加速度数值偏小。

（2）实验过程中支架可能发生晃动（学生在实验室走动）。

（3）存在空气阻力，会使计算得出的重力加速度数值偏小。

（4）视差。在测量si时，视线并未保证严格水平，使读数与实际距离有一定的差别。

（5）小铁球的稳定性。实验中应当使小球稳定后再释放，如果小球释放时处于摆动状态，会影响计时。

3.结论

本文比较了用于测量重力加速度的单摆法和自由落体法，经过对实验数据的分析和总结，得到以下结论：

（1）两个实验中，自由落体法测量重力加速度误差小，实验可重复性较好，与董等人[3]的结论不同。

（2）单摆法的误差主要来自周期测量和摆线长测量的精确度，自由落体法的误差主要来自时间测量和长度调整的精确度。综合来看，摆线长测量容易引入较大误差。所以自由落体法的误差比单摆法的误差小。

参考文献：

[1]杨延欣，赵春华.大学物理实验[M].北京：科学出版社， 2011.

[2]郑建洲.大学物理实验[M].北京：科学出版社，2007.

[3]董光兴，王新兴，张鹏，杨文君，禄志强.重力加速度的测量方法与实验分析[J].河西学院学报： 2015（5）：31-76.

[4]杜旭日.大学物理实验[M].厦门：厦门大学出版社，2012.

作者简介：

熊伦（1985-），男，博士，讲师，主要从事大学物理实验教学工作。