中学数学教学中逆向思维能力的培养

李宗双，张一博

在中学数学教学过程中，学生能力培养的核心是思维能力的培养.研究表明：思维过程具有指向性，分为正向思维和逆向思维.［1］现行中学数学课本中包含了大量正逆向思维的素材，例如：概念、运算率、运算法则、公式、性质等，都包含正向和逆向思维两方面的内容.［2］逆向思维作为教师教学与学生运用的一种重要思维方法，它要求学生在探究问题时从反面去思考，去做与习惯性思维相反的探索，这不仅要求教师能正确地引导学生进行逆向思维的思考，而且要求学生的思维能够主动进行正逆向思维的转化.［3］所以，思维能力的培养不仅是社会发展的现实需要，更是实现素质教育的关键所在.

1 逆向思维的基本内涵

张大均在《教育心理学》一书中将思维分为正向思维与逆向思维，而其中的逆向思维又叫反向思维，它作为发散性思维的一种，具体是指背离原来认识去探究新发展的一种思维方法，是在研究现象、概念的基础上所进行的分析、综合、判断、推理的认识活动过程.逆向思维作为数学学习中的一种重要思维方法，在数学教学及数学解题中发挥着至关重要的作用，当遇到问题的时候，如果我们思考的方式与习惯思维完全相反，或者运用的思维与原先思维完全相反，那么我们可以称这种思维为逆向思维.它的特点是当遇见问题的时候，运用与习惯思维完全对立的思维进行逆推，从反面去验证，得出新的结论.运用逆向思维就是要突破旧思想框架，摆脱思维定势，形成一种学生能自主运用的思维习惯.

2 逆向思维在中学课堂教学中的应用

在中学数学教学中，很多概念都会运用到双向思维，例如定理与逆定理、运算与逆运算、正例与反例等.但教师在日常的教学过程中，如遇到定理、公式、法则等教学任务时，教师会习惯性地从左到右讲授运用规律，这样很容易使学生形成思维定势，不利于学生思维灵活性的培养.因此教师在平时的教学过程中，要充分重视学生逆向思维能力的培养，这样不仅能让学生更加容易地理解数学本质，学会用多种不同的方法解决问题，同时还能提高学生的发散能力，鼓励学生多方面的思考问题，所以，教师应当注重学生各种数学思维的培养，使之养成良好的学习习惯.

例1 从“1=？”谈逆向思维如何对学生的思维想象空间产生影响

分析：上课时，教师先问学生“4-3=？”，学生能够很轻松地回答出答案为1，这时候教师反过来再问“1=？”，只有这一种答案吗？这时候教师稍微提醒一下：在数学中“1=？”会有多少种结果？1是自然数的单位，同学们可以充分发挥自己的想象力与逆向思维能力.学生就能想到“1=？”会有许多种解.

在中学阶段的学生，思维的迟滞性普遍存在，教师如果想要解决这个问题，首先就要培养学生的逆向思维，加强双基教学，让学生掌握基本数学概念的同时，拥有逆向思维的解题思路，即当遇到数学问题用正向思考无法解决的时候，不如逆推看看，能否用逆向思考解决难题.其主要步骤为：顺推不行就逆推，直接解决不了就间接解决，正面入手解决不了就反面入手，探求问题的可能性有困难就考虑探求其不可能性，一种命题无法解决时就转换成另一种等价的命题.通过学生逆向思维能力的培养与训练，不仅提高了学生的解题能力，而且提高了学生的分析、判断及解决问题的能力.

分析：常规的解题思路：先整体通分，再依次化简并计算.这种算法非常复杂，这时候如果逆向运用通分法则，解题就非常方便.

例3 判断“m∈N，m2-m+11一定是质数”.

分析：面对复杂的判断题时，如果只从正面去解决问题可能会遇到困难.这时可以采用反例法，只需举出不是质数的数，那么问题就迎刃而解.通过观察，学生能够很快地想到11，此时同学们将11带入判断，可以很快地得出结论.列举反例是做类似判断题很常用的一种方法，学生应该学会运用.

逆向思维的培养与运用在数学解题中就显得非常重要，学生们可以通过逆向思考，加强解题的效率和答题的准确率.在平时研究和解决问题的时候，教师应该引导学生反过来探究问题，这就叫逆向分析法.逆向分析法要求学生从问题本质出发，列出问题的条件，从一个条件联想出多种方法，最后寻找最佳的解题方法.通过逆向思维的培养，学生的解题能力得到了很大的锻炼.面对复杂的判断题时，如果只从正面去解决问题可能会遇到困难.这时可以采用反例法，只需举出不是质数的数，那么问题就迎刃而解.

在教师的教学过程中，解题是训练学生思维能力最直接的方法之一，对培养学生的逆向思维能力起着非常重要的作用.当我们面对一个较难的问题不知所措的时候，逆向思维往往能使人豁然开朗.因此必须让学生自觉地养成从习惯思维的思考方向转化为完全相反方向的探索的习惯.下面简述几种常见问题的运用逆向思维解题的方法及技巧：①如果顺推有困难，就用逆推，使用逆推法解题.②如果直接证明有困难，就用间接证明.③如果研究问题或证明遇到困难，考虑举反例.④如果解决含有变量和常量的问题，有时抓住变量作为主元素，反而使问题异常复杂.如果打破习惯思维，反过来将常量作为主元素，反客为主，可以较简单地解题.

3 中学生逆向思维提升的策略

3.1 公式、法则的逆运用

在数学的学习过程中，通常会在课本中遇到许多用等号表示的公式和法则，而等号两边的量的双向对等性学生都很容易接受.学生在学习课本中的公式、法则时，一般都习惯从左到右运用公式、法则，但很多问题都需要逆向运用公式.这就需要学生运用逆向思维来解决问题，因此，在数学公式、法则的教学中，教师应该多指导学生对公式、法则的逆用，也可以通过公式、法则的正向推导，再与公式、法则的形成过程与形式进行对比，进而探索公式能否逆向运用.这样不仅有利于拓宽学生的逆向思维，培养与强化解题技巧，而且能让学生明白，只有灵活、熟练地运用，解题才能得心应手.这样一来教师可以多通过学生逆向思维能力的培养，充分锻炼学生解题的能力.

3.2 逆向变式训练，强化逆向思维

在数学的定义教学当中，所有的数学定义都是互逆的.教师可以通过对所讲授数学定义的双向把握，深入理解和掌握定义的真正含义.同时在数学解题过程中，运用定义是一种常用的技巧，但学生非常容易忽视定义的逆向运用，通常只要重视定义的逆用及逆定义运用的训练，当遇见有些问题的时候，解答可能会非常简单.教师可以在平时的教学中注重学生定义的逆向思考，让学生掌握条件和结论的互换，了解正向定义与逆向定义的关系.

在已知的条件下，通过已知和求证的相互转化，形成与原命题相似的新题型的方法叫作逆向变式.教师的日常教学安排中，逆向变式的训练对于强化逆向思维显得格外重要.以下为逆向变式的相关训练.

例4 如何围周长为a（a为常数，a＞0）的矩形能让它的面积最大？

分析：学生通常会运用二次函数的知识来解题.可变式：一块形状为矩形的菜地，它的面积为a（a为常数，a＞0），问：该菜地的长为多少时，菜地的周长最小？最小值是多少？设该菜地的长为x，周长为y，这时和的函数关系式可以表示为（x＞0）.学生可以通过做题知道“实际问题一建立函数模型一探索函数的图像与性质一函数的应用”的过程，丰富了自己的知识，很好地锻炼了自己的分析解题能力.

3.3 定理定义教学中渗透逆向思维

学生在数学学习过程中，教师通常要求学生能够熟练掌握书本上的定理和定义，还要熟练运用各种性质，这时对这些定理和定义进行互逆思考就显得非常重要，例如表现出逆向思维的等价关系、充要条件和反证法等.教师应在教学设计中包含学生对已知命题进行逆、否、逆否命题互换的环节，不仅要求让学生熟记已知命题与逆、否、逆否命题的关系，而且在做题中会运用反证法进行解题.

数学中很多熟知的定理都不可逆，例如“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”，逆命题“相等的两个角是对顶角”就是错误的，但许多常见的定理的逆定理也是正确的.例如三垂线定理及它的逆用定理，线段垂直平分定理及其逆用定理，矩形的性质及矩形的判定定理，正三角形的性质及正三角形的判定定理等等.在数学教学过程当中，教师可以适当地对重要的定理的形成进行讲解，还可以深入了解其可逆性，这样在加深学生对知识了解的同时，也提升了学生的逆向思维能力和解题能力.

例如讲授绝对值定义，先提问10的绝对值是多少（正向思维）？再问谁的绝对值等于10（逆向思维）？这样的设计不仅能使学生透彻理解绝对值的概念、代数意义和几何意义，而且对学生拓展知识面有很大的好处.例如讲授直线方程定义，正常讲授kx-y+b=0为直线L的方程，直线L为这个方程的图像外，还应该对学生指出以该方程的任何一组解为坐标的点都在直线kx-y+b=0上.反过来思考，在直线L上的任何点，它的坐标代表的x，y都是方程kx-y+b=0的解.