浅谈数学归纳法的逻辑基础

王永琦

摘 要：数学归纳法的逻辑基础目前有三种看法，一部分学者认为数学归纳法的逻辑基础是归纳法，一部分学者认为是演绎法，还有一部分学者认为归纳法和演绎法二者结合是数学归纳法的逻辑基础。对于此可以从数学归纳法的由来和美中逻辑基础的代表思想及其发展过程进行探讨。

关键词：数学归纳法；归纳法；演绎法；逻辑基础

中图分类号：G63 文献标识码：A 文章编号：1673-9132（2018）06-0178-02

DOI：10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2018.06.113

数学证明方法分为构造性方法和非构造性方法，构造性方法是指通过证明解释定理或者关系的存在性问题，非构造性方法包括数学归纳法和反证法，数学归纳法可以看作是半构造性方法。数学归纳法是数学证明中的一种重要方法，利用数学归纳法可以通过普遍证明特殊问题，通过有限证明无限问题。

一、数学归纳法的发展

最早提出数学归纳法的数学家是欧几里得，可以追溯至公元前三世纪，在其《几何原本》中可以查到记载。莫罗利科在十五世纪七十年代明确提出了递归推理的思想，并且利用数学归纳法成功证明了贾宪三角，记载在其书写的《论算数三角形》中，这是数学归纳法的首次运用。数学归纳法在历史上存在已久，其在数学学科中的重要性也显而易见，但是数学归纳法的逻辑基础仍然没有广泛同意的观点。十九世纪末，数学归纳法的逻辑基础首次被意大利的数学家皮亚杰提出，并在《算数原理新方法》中公开发表。尽管如此，数学归纳法的逻辑基础仍然没有得到各国学者的统一认定，数学归纳法一直在数学学科研究中得到广泛应用。目前对于数学归纳法的逻辑基础有三种不同的看法，有些学者认为数学归纳法的逻辑基础是归纳法，有些学者认为数学归纳法的逻辑基础是演绎法，由于对归纳法和演绎法的认识和理解也没有得到统一，因此还有一些学者认为数学归纳法的逻辑基础是归纳法和演绎法的结合[1，2]。

二、数学归纳法的逻辑基础

（一）数学归纳法的逻辑基础是归纳法

将数学归纳法的逻辑基础看作是归纳法的思想在上世纪五六十年代的数学界广泛认可，用归纳法的方式教授数学归纳法得到广泛认可。上世纪八十年代，范光忠对归纳法进行了总结，归纳法包含完全归纳法和不完全归纳法，不完全归纳法又包含穷举法和数学归纳法，但是由于期间国家政治经济发生了巨大的动荡和变化，这一思想没有写入教科书中。1994年，申祝平对范光忠的观点提出不同看法，认为数学归纳法的说法本身存在歧义，数学归纳法称之为归纳。在上海高中数学教材中，将归纳法分为四个部分，包含归纳法，数学归纳法，完全归纳法和不完全归纳法。2004年吕宝兴提出数学归纳法应该属于完全归纳法的概念范畴[1]。

（二）数学归纳法的逻辑基础不是归纳法

数学归纳法的逻辑基础不是归纳法的思想在很多年前已经存在，并且有数学家明确指出了数学归纳法和归纳法之间存在本质区别。上世纪八十年代出现的《中学数学教材教法总论》一书中明确指出：“数学归纳法不属于前面所说的归纳推理，而是根据归纳原理综合运用归纳、演绎推理的一种特殊的数学证明方法”，在当时的数学界得到了广泛的认可。在1980年出版的数学课本中，数学归纳法、与反证法和同一法一起作为间接证明的方法写入课本。

1982年时，复旦大学附属中学在数学教学中提出，学生对于数学归纳法的认知困难是由于数学归纳法的本质并不是归纳法，也不是完全归纳法，那么教授的环节已经出现了错误：数学归纳法不能当作归纳法或者完全归纳法教授，之前的教授方法与学习内容存在了脱节，必然导致学生在数学归纳法的学习中存在很大的困难，也更无法在数学归纳法的理解中发现实质性的问题。曾容认为数学归纳法的名称本身就容易引起误解，让人们很容易将数学归纳法与归纳法产生联系，但是数学归纳法应该是递归推证法[2]。

（三）数学归纳法的逻辑基础是演绎法

数学归纳法的逻辑基础是演绎法的思想在上世纪五十年代已经得到苏联数学家的广泛认可，但是在我国过了几十年才出现这种思想。上文已经提及数学归纳法和归纳法虽然名称相近，但是本质上存在区别，数学归纳法的基础应该是递归推理原理。这种思想的发展是由于数学思想和方法不断严谨，不断发展出现的。数学归纳法在一定意义上被认为是古典演绎逻辑发展的必然结果。因此，单纯从名字望文生义，将数学归纳法与归纳法混为一谈是非常荒谬的做法。将这一思想及时更正有利于数学教学质量的提升和数学思想的发展。归纳法主要用于数学推理，对发现数学问题作出了贡献，其结构不一定为真。数学归纳法的实质是演绎法，其结构为真。数学归纳法和归纳法的本质区别的面纱得以揭开，使人们对数学归纳法的本质有了明确的认识，成功实现了数学问题中有限向无限的证明，促进了数学教学的提升和数学思想的发展。

（四）数学归纳法的逻辑基础是归纳法与演绎法的结合

有一部分学者认为数学归纳法的逻辑基础是归纳法和演绎法的结合，归纳法和演绎法不存在实质性的分歧，都是数学证明的分支。1992年赵龙山提出数学归纳法的逻辑基础是自然数，并且认为以现代逻辑观点为基础，演绎推理的方法是找出前提条件和结论之间的必然联系，那么，数学归纳法在这种观点的背景下也应该是以演绎为基础发展的方法。但是，我們可以肯定的是，数学归纳法并非只能通过演绎推理的方法证明，采用数学归纳法证明一个问题时，首先要通过普遍性进行推理，由普遍性证明特殊性，由有穷性证明无穷性，然后将推理结果进行总结归纳，因此数学归纳法是演绎法和归纳法的结合。数学归纳法既是演绎法又是归纳法。钟宝山和扬熙鹏在1991年提出一个观点支持这一逻辑基础，他们认为归纳法和演绎法二者之间互为基础和先导，二者之间存在一定的联系，因此数学归纳法的逻辑基础必须以二者结合为基础，不能单独拆除一个部分。

三、总结

根据以上分析，数学归纳法的逻辑基础仍然没有得到统一的答案，暂且可以认为数学归纳法的逻辑基础既包含演绎推理，又包含归纳总结。数学归纳法的存在为数学难题的解决起到了强大的推动作用，然而对于数学归纳法的逻辑基础的探讨，随着社会经济政治的发展仍然会有不同的争议。

参考文献：

[1] 申祝平.为“数学归纳法”正名[J].中学数学教学参考，1994（5）.

[2] 曾容.数学归纳法的教学探讨[J].数学教学，1982（1）.endprint