具有非卷积型核的多线性Littlewood-Paley算子在Campanato空间上的新估计

周 疆,周 盼

(新疆大学 数学与系统科学学院,新疆 乌鲁木齐 830046)

众所周知,Littlewood-Paley算子(g-函数,面积积分S和g*λ-函数)在调和分析和偏微分方程中扮演着重要角色.g-函数和g*λ-函数是Littlewood和Paley[1]在研究Fourier级数时引进的,面积积分S是Lusin[2]在研究解析函数的边界值时引入的.自从20世纪70年代Coifman和Meyer[3]首次研究多线性奇异积分算子理论以来,多线性理论引起了Grafakos和Torres[4-5]的浓厚兴趣.关于具有非卷积型核的多线性Littlewood-Paley算子的研究已有很多,见文献[6-8]等.近来，许多学者对具有非卷积型核的多线性Littlewood-Paley算子也进行了研究,得到了一些结果.例如,2012年,Hart[9]研究了具有非卷积型核的面积积分S在Lebesgue和Sobolev乘积空间上的有界性，2014年,Shi等[10]得到了具有非卷积核的Littlewood-Paley算子在加权Lebesgue空间上的估计.

Littlewood-Paley算子在BMO和Campanato空间上的有界性研究可见文献[11-13].胡国恩等[14]得到了Marcinkiewicz算子在BMO和Campanato空间上的有界性；贺莎等[15]将Littlewood-Paley算子在文献[11-12]中的结果推广到了多线性情形,证明了具有非卷积型核的多线性Littlewood-Paleyg-函数、多线性面积积分S、多线性Littlewood-Paleyg*λ-函数在Campanato空间上的有界性.

1 相关定义及主要结果

Campanato空间是Campanato在1963年首次引进的,其定义如下.

定义1[16]设-n/p≤α<1,1≤p<∞,f是Rn上的一个局部可积函数,如果存在常数C1>0使得对于任意的球B⊂Rn,有

定义2设-n/p≤α<1,1≤p<∞,f是Rn上的一个局部可积函数,如果存在常数C2>0，使得对于任意的球B⊂Rn,有

定义3[15]设K(x,y1,…,ym)为定义在(Rn)m+1{(x,y1,…,ym):x=y1=…=ym}上的函数,如果对所有的(y1,…,ym)∈(Rn)m,存在常数C>0,使得K(x,y1,…,ym)满足以下条件:

本文的主要结果如下：

因此

通过以上不等式和定理1,容易得到以下推论.

注记1文献[18]证明了在点态意义下S(f)(x)≤Cg*λ(f)成立,因此以上结果对于多线性Lusin面积积分S也成立.

2 主要结果的证明

首先证明定理1,仅考虑双线性的情形,对于m≥3情形类似可得.下面给出双线性Littlewood-Paleyg-函数在Lebesgue空间上的结果以及相关引理.

||g(f1,f2)||Lp(Rn)≤C||f1||Lp1(Rn)||f2||Lp2(Rn), ||S(f1,f2)||Lp(Rn)≤C||f1||Lp1(Rn)||f2||Lp2(Rn).

引理2[20]设f∈εα,p(Rn),1≤p<∞.如果β>0,-∞<α

其中C是仅依赖于n,α,β的常数.

定理1的证明只需证明对于任意fi∈εαi,pi(Rn),i=1,2,如果存在x0∈Rn使得g(f1,f2)(x0)<∞,那么对于任意的球B⊂Rn及x0∈B，有

不失一般性,假设||f1||εα1,p1(Rn)=1,||f2||εα2,p2(Rn)=1,B=B(xB,r)表示以xB为球心、以r为半径的球.对于任意的x∈B,设

则由核K的消失性条件(1)可得

首先估计I1,由引理1可得

现在估计I2,I3,I4.由对称性和引理3可知

g0((f1-m4B(f1))χ(4B)c,(f2-m4B(f2))χ4B)(x)≤C|B|α/n，

因此

I2≤C|B|2α/n，I3≤C|B|2α/n，I4≤C|B|2α/n.

最后,为了估计I5,仅需证明对于任意的x,x′∈B,有

|[g∞(f1,f2)(x)]2-[g∞(f1,f2)(x′)]2|≤C|B|2α/n.

由于

对于任意的t≥4r,选取k0∈N使得2k0r≤t<2k0+1r,由条件(1)和(2)可知，对于任意的x∈B，有

首先估计J1,由Hölder不等式可得

对于J2,由2k0r≤t<2k0+1r,x∈B,y1∈(2k0B)c可得|x-y1|～|xB-y1|.因此,由引理2可得

对于J3,类似于J2的估计可得

J3≤Ctα.

现在估计J4.由2k0r≤t<2k0+1r,x∈B,y1,y2∈(2k0B)c可知|x-y1|+|x-y2|～|xB-y1|+|xB-y2|.因此,如果α≥0,取0<ε<δ-α,则由引理2可得

若α<0,同样可得

另一方面,由非卷积型核K的消失性条件(1)和(3)可知,对于任意的x,x′∈B，有

因此,对于任意的x,x′∈B,设n>α+δ,则由文献[15]中引理2.3的证明方法和引理2.2,类似于估计J4可得

至此,完成定理1的证明. 】

下面证明定理2,我们也仅考虑双线性情形,对于m≥3的情形类似可得.下面先给出双线性Littlewood-Paleyg*λ-函数在Lebesgue空间上的结果以及相关的点态估计.

||g*λ(f1,f2)||Lp(Rn)≤C||f1||Lp1(Rn)||f2||Lp2(Rn).

定理2的证明只需证明对于任意fi∈εαi,pi(Rn),i=1,2,如果存在x0∈Rn使得g*λ(f1,f2)(x0)<∞,那么对于任意的球B⊂Rn及x0∈B，有

不失一般性,假设||f1||εα1,p1(Rn)=1,||f2||εα2,p2(Rn)=1,B=B(xB,r)表示以xB为球心、以r为半径的球.对于任意的非负整数k,定义

则由核K的消失性条件(1)可得

其中

首先估计H1.由引理4可得

现在估计H2,H3,H4.由对称性和引理5可知

g*λ,0((f1-m4B(f1))χ(4B)c,(f2-m4B(f2))χ4B)(x)≤C|B|α/n,

因此

H2≤C|B|2α/n,H3≤C|B|2α/n,H4≤C|B|2α/n.

最后估计I5.由非卷积型核K的条件(1)和(2)可知,对于任意的x,x′∈B,有

因此,我们总假设λ∈(4,5).

对于E3,由对称性可知

E3≤C|B|2α/n.

如果α<0,同理可得

至此,完成定理2的证明. 】

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