一类具有接种和治疗的传染病模型动力学分析

吴梦媛， 孙法国， 陈 瑶

(西安工程大学 理学院， 西安 710048)

传染病对人类的生活一直都产生巨大影响，每年都有成千上万的人死于传染病．随着天花、水痘等一些传染病的灭亡，接种疫苗已成为控制传染病传播的有效措施．但由于目前人们的生活方式日益复杂，一些新型疾病也在不断地侵入人类社会．数学工作者使用不同的数学工具来研究关于疾病传播的一些理论，文献[1-2]考虑和分析了传染病的数学模型，并能够预测疾病何时得到控制，以及控制疾病的有效方法．文献[3-9]利用一些措施(接种疫苗、治疗、隔离等)来控制疾病的发展，文献[3-5]研究了带有疫苗接种的SVI传染病模型的稳定性，文献[6-9]把治疗作为控制传染病的主要方法，文献[10-15]使用疫苗接种和治疗来控制疾病的传播，这些方法虽然会降低传染病的传播速度，但若想完全控制其传播还是有些困难．适当的疫苗能有效控制流感、肺结核、麻疹、腮腺炎、风疹等传染病，这些疾病的主要特征是，无论什么时候，病菌进入易感人群的身体都会潜伏一段时间，然后个体才会被真正感染，进而具有感染力，故描述这些疾病需要考虑潜伏期．最近的一项研究[16]发现卡介苗保护结核病的持续时间和有效性会随接种时间而变化，考虑到疫苗的免疫功效会随接种时间的推移而下降(如乙肝疫苗，卡介苗等)．文献[17]研究了带有接种和部分治疗，并把疫苗失去率看作一个常数，得出结论接种和治疗是控制传染病蔓延的有效途径．考虑到疫苗的完全丧失是一个逐渐积累的过程，故本文在文献[17]的基础上，研究了一类带有不完全接种和部分治疗的传染病模型，且把免疫丧失率当作积分的形式来研究．

1 模型的建立

假设 把总人群共分为五个仓室，分别为易感者仓室S，接种者仓室V，潜伏者仓室E，感染者仓室I和移出者仓室R.假设总人口的输入率为Λ，并且都为易感者类，μ、ξ、β、δ和ζ分别表示自然死亡率系数、易感者的有效接种率系数、传染率系数、潜伏者类成为感染者的转化率系数以及因病死亡率系数，根据传染病的传播机理建立如下的SVEIR模型：

(1)

(2)

利用Volterra积分，令模型(1)中的第二个方程沿着特征线t-θ=c(c为常数)积分得

(3)

(4)

因为v(θ,t)与S(t)的关系以及R在模型(1)的前四个等式中均未出现，所以模型(1)等价于模型

(5)

模型(5)的稳定性确定之后，就能通过(3)得到v(θ,t)的稳定性，进而给出模型(1)的稳定性．

2 平衡点的存在性

证明：显然模型(5)始终存在一个无病平衡点P0．地方病平衡点P*(S*,E*,I*)满足方程组

(6)

由方程组(6)的后两个等式得

(7)

把式(7)带入式(6)的第一个式子，记

故g(I)是单调递减函数．又R0>1时，

3 平衡点的稳定性

证明：模型(5)在P0处的Jacobian为

(8)

根据韦达定理知在R0<1时，式(8)的后一部分关于λ只有两个负根．式(8)的前一部分关于λ也只有负实部的根，假设存在正实部的根，则

故

|λ+μ+ξ|≥μ+ξ>ξ

这是矛盾的，因此假设不成立．

构造Lyapunov函数

V=δE+(μ+δ)I

其中：(E(t),I(t))是方程组(5)的任意解，对V函数求导

定理3 当R0>时 ，模型(5)唯一的地方病平衡点P*(S*,E*,I*)在Ω的内部全局渐近稳定．

证明：易证模型(5)的一致持续性等价于无病平衡点P0的不稳定性，故当R0>1时，模型(5)是一致持续的．因此，在Ω的内部存在一个紧吸引子集K．

模型(5)的Jacobian矩阵为

|

J的第二加性复合矩阵为

|

|

令(u,v,w)代表R3中的任意向量，其范数定义为

‖(u,v,w)‖max{|u|,(|v|+|w|)}．

相应于范数‖·‖的Lozinskil测度是ρ(B)，利用文献[19]的估值方法知ρ(B)≤sup{g1(t),g2(t)}，其中g1(t)=ρ1(B11)+|B12|，g2(t)=|B21|+ρ1(B22)．|B12|和|B21|是相应于l1向量范数的矩阵范数，ρ1是相应于l1范数的Lozinskil范数，因此

下面计算ρ1(B22)．把B22的每一列的非对角矩阵取绝对值，然后加到相应列的对角元素上得

|

则

从而

因此引理成立，所以定理3得证．

4 数值模拟

对模型(1)进行数值模拟结果如下：首先取参数Λ=1，μ=0.02，ξ=0.95，Γ0=0.1，β=0.000 003，m=1，ε=0.005，δ=0.01，γ=0.000 4．由定理2可知，无病平衡点全局渐近稳定．在图1中，取不同初始值做数值模拟，不难看出无病平衡点是全局渐近稳定的．

图1 无病平衡点的全局稳定性

令β=0.000 3，μ=0.046，ξ=0.05，δ=0.001，其他参数不变，由定理3可知，地方病平衡点全局渐近稳定．在图2中，取不同初始值做数值模拟，易看出地方病平衡点是全局渐近稳定的．

图2 地方病平衡点的全局稳定性

5 接种疫苗和治疗控制对模型的影响

R0<{RNV,RNT}

因此可以看出在这些基本再生数中R0最小，而RNVT最大．我们知道基本再生数与新感染个体的数目有直接的关系，因此可以看出采取疫苗接种和治疗是控制传染病传播的有效途径．

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