在问题解决中感悟模型——“工程问题”教学案例与反思

牛献礼（特级教师）

数学模型是“借用数学的语言讲述现实世界的故事”（史宁中），是现实世界的简化而又本质的描述。构建数学模型（简称“数学建模”）即指“从数学的角度对所需研究的问题作一个模拟，舍去无关因素，保留其数学关系，以形成某种数学结构”。

《普通高中课程标准（2017）》明确把数学建模作为数学区别于其他学科的核心素养。《普通高中课程标准（2017）》指出：“数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题，用数学方法构建模型解决问题的素养。”小学阶段的数学建模不同于高中阶段，模型的内容与建模过程比高中及一般意义上的要求低很多，但建模思想在小学数学内容中的渗透，可以说无处不在。那么，数学建模素养在小学数学教学中如何渗透呢？下面以人教版六年级上册中的“工程问题”为例，谈谈笔者在教学中的做法。

教学片断一：

出示例1：修一段420米长的路，甲队单独修需要10天完成，乙队单独修需要15天完成。如果两队合修，几天能够完成？

教师在引导学生读懂题意的基础上，让学生独立思考、尝试解答，并鼓励学生写出数量关系式。

生：420÷（420÷10+420÷15）=6（天）。

生：工作总量÷工作效率=工作时间。

师：如果把这道题的条件改变一下，变成“210米”，猜猜看，多少天能够修完呢？（板书：猜想）

生：3天能够修完。

师：为什么呢？

生：因为工作总量少了一半，其他条件没有变，所以工作时间也会少一半。

师：听起来很有道理！这个猜想到底对不对呢？还需要——

生：验证。（板书：验证）

出示例2：修一段210米长的路，甲队单独修需要10天完成，乙队单独修需要15天完成。如果两队合修，几天能够完成？

（学生独立列式计算，验证猜想）

生：（很惊讶）怎么还是6天？

师：说说你们的列式。

生：210÷（210÷10+210÷15）=6（天）。

师：为什么工作总量缩小了一半，工作时间却没有变化呢？什么原因呢？讨论一下。

（学生小组讨论后全班交流）

生1：尽管工作总量缩小了一半，但是工作效率也变慢了，比如甲队工作效率210÷10=21（米），比上题中的工作效率420÷10=42（米）也慢了一半，所以工作时间还是6天。

生2：我发现不管是修420米还是210米，甲队单独修都是10天完成，乙队单独修都是15天完成，这个时间不变，合修的时间就不会变。

（生2的意见赢得了绝大多数学生的认同）

生：是的。

师：这又是个听起来很有道理的猜想，我们再来验证一下。（板书：再猜想——再验证）

出示例3：修一段150米长的路，甲队单独修需要10天完成，乙队单独修需要15天完成。如果两队合修，几天能够修完？

（学生独立列式，计算验证）

生：（兴奋地）150÷（150÷10+150÷15）=6（天）。

师：果然如此！合作完成的时间和道路总长度真的没有关系！那么，既然这样，我们干脆把道路总长这个条件省略掉，行不行？

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生：行啊。

出示例4：修一段路，甲队单独修需要10天完成，乙队单独修需要15天完成。如果两队合修，几天能够修完？

（学生先独立解答，再小组交流，然后全班反馈）

少数学生感到有困难，无从下手；部分学生想到了举例子的方法，假设路长是某个具体的数，再列式解答；但是，也有更多的学生想到了下面的方法。

师：刚才我们把这道修路问题不断变换条件，得出了黑板上的这四种算法，比较一下，哪种方法更加简便？

生：第四种方法。

师：想一想，前三道题目能用第四种方法做吗？为什么？

生：能用，因为不管工作总量是420米、210米，还是150米，都可以看作“1”。

师：是的，这种问题在数学上叫做“工程问题”（板书课题：工程问题），它的特点是把工作总量看作单位“1”；谁几天完成，谁的工作效率就是几分之一；用工作总量单位“1”÷工作效率之和，就可以求出两队合修的工作时间。

【思考：数学建模是一个复杂并具有挑战性的过程，建模的过程，实际上就是数学化的过程，是学生在数学学习中获得某种带有模型意义的数学结构的过程。由于小学数学没有复杂的数量关系和数学结构，其基本内容是以四则运算为基础的问题解决，从成人角度看数学模型过于简单，但学生自主思考、建构与解决这些问题的过程并不简单，许多问题的解决过程都是学生“再创造”的过程。

学生学习能力和思维水平的提升需要依赖教师设计的好活动，尤其是在小学阶段，数学建模思想的渗透既要经历过程，又要兼顾不同层次和水平的学生的需求，这就更加需要教师的精心设计。上述教学从相应的整数问题引入，引出了丰富的学习材料。为便于比较，促进抽象概括，对这些学习材料采用精细的呈现顺序，并让学生经历了“猜想-验证-再猜想-再验证”的思维过程。在组织比较这些材料时，引导学生在数量关系上求同，在工作总量、工作效率的表示形式上辨异，使感性认识上升为理性认识，既加深了学生对工程问题基本数量关系的理解，又突出了工程问题的结构特点与解题规律。在建模过程中，教师注重暴露学生学习的难点，引导学生在质疑、争论、举例、追问中逐步澄清，慢慢从具体走向抽象。纵观整个学习过程，每一次探究、每一次比较、每一次抽象，学生都在体会题目的结构特点，都在感悟数学思想，抽象、模型等思想在建模过程中得到有效的渗透。】

教学片断二：

出示：一批货物，大车单独运，10次可以运完，小车单独运，15次可以运完。如果大车和小车合运，几次可以运完？

生：跟刚才修路问题一样，可以把这批货物的总量看作“1”，1÷（1÷10+1÷15）=6（次）。

出示：甲、乙两地相距300千米，快车3小时可以行完全程，慢车6小时可以行完全程。快车和慢车同时从甲、乙两地相对开出，经过几小时可以相遇？

（学生尝试解答，然后全班交流）

生 1：300÷（300÷3+300÷6）=2（小时）。

师：看来大家是赞同生2的做法的。这种解决问题的方法跟“工程问题”的解法有什么相同之处呢？

生：快车和慢车从两地相对开出直到相遇，相当于两辆车合作走完这段路，这段路的全长就是工作总量，它们的速度就相当于工作效率。

师：真好！这里的修路问题、运货问题、相遇问题，都可以归结为同一类问题，都可以按照工程问题的方法来解决。

……

【思考：人们认识客观世界，把握客观事物规律，要通过探究事物与事物之间的异同，寻找事物之间错综复杂的内在联系来实现，这就需要对事物进行比较。比较，是把一些事物的个别属性加以分析综合，而后确定它们之间异同的逻辑思维过程。通过比较，找出不同事物共同的本质属性，促进归纳概括，建立数学模型。设计上述两道题的目的就是想让学生能主动地运用数学模型去比较、分析、解决一些同类的现实问题，感悟模型思想。通过对“修路问题、运货问题、相遇问题”进行分析、比较，学生会发现：抛开具体情境，这些问题的本质和结构是相同的，这样才真正有了“模型”的影子。学生在问题解决的过程中不仅加深了对建立的数学模型的认识，建模的过程还能够帮助学生超越具体情境，向抽象思维水平迈进。】