正确表征数学的抽象意义——《倒数的认识》教学后的思考

彭应奎

教学《倒数的认识》（人教版六年级上册第三单元第28页）后，批改学生的作业，发现了一些有意思的错误：

（2）小红和小亮谁说得对？（题目见教材第29页）：

学生C：为什么不可以呢？小数和分数是可以互化的，我们把0.75化成分数后就是分子和分母上下对调了。

……

学生的回答让我陷入沉思：看来，学生们对于倒数的“倒”字印象非常深刻。为什么学生一定要强调分子分母互相对调的形式，而不是从倒数的本质特征“乘积为1的两个数互为倒数”来进行判断呢？

细细想来，这可能与教材的编排以及老师的教法有很大的关系。教材这样举例说明：因为×=1,所以的倒数是，的倒数是，与互为倒数。接着教材提问“你是怎样找一个数的倒数的？”再次举例的倒数是，在找倒数的过程中，只要把分子、分母交换位置就可以了。再加上那天教学时用的PPT封面图片是“两只猴子，一正一倒，配合着与这两个数”，给学生强烈的视觉冲击力就是一个“倒”字。因此，学生们对于“倒数”的理解就是：求一个数的倒数只要分子和分母对调就可以，所以学生们根深蒂固地认为5的倒数是5。分子和分母对调，这样形式上的、简洁的方法就深深地刻入到学生的脑海里。对1的倒数是它本身，0没有倒数，也还是从分子和分母对调上去理解的——因为1无论怎么倒，都是1，把0倒回来的时候，发现0不能做除数……

这样教学，对学生正确认识倒数的本质特征产生了很大的负面影响。如何避免“倒数”这个名字给学生认知带来的负迁移，如何在教学中顺利地引导学生认识到倒数的本质特征——“乘积是1的两个数互为倒数”呢？

其实，教材上是有这句话的。不过，学生的注意力被具体的例子给吸引了。所以上课时，教师要注意淡化倒数的形式特征，强化倒数的本质——“两个数的乘积为1”。同时，让学生多举不同类型的两个数的乘积为1的例子——分数的；小数的；整数的。比如 0.25×4=1；5×0.2=1等。然后进行全班汇报交流，教师选择性地把各种类型的例子进行板书，让学生认识到“乘积是1的两个数互为倒数”，用字母表示为：如果ab=1,则a、b互为倒数。这样教学，学生对倒数的理解就能抓住本质特征，就不会有倒数就是分子分母对调这种错觉出现。

《倒数的认识》是一节概念课。在概念课教学中，我们强调遵循学生的认知规律，在概念形成之初，就让概念的本质深深地刻在学生的脑海中，而不是仅仅记住表面的知识，然后让学生经过数次的“犯错”、教师不断地“纠错”过程后才真正认识倒数的本质。否则，学生永远无法真正触及倒数的本质。

数学来源于生活，在教学中，有时候我们利用部分有趣的生活现象来展开教学，可以让学生更好地理解数学。但是，当有趣的生活现象不能正确表征数学的抽象意义，反而对学生的数学认知造成一定的干扰时，教师应给予抛弃，多利用纯数学的变式训练，抽象出数学知识的本质，以防止学生的思维定式，让学生从生活形式的数学认识提升到数学本质的认识。