立足教材 延伸课外

秦进 陈明 张少华 代姗妮 简萱慧

基金项目：贵州省科学技术基金项目（黔科合LH字（2015）7042号）。

摘要：教科书是根本，既要重视教材基本知识的普及，又要注重能力的提高，要对教材真正理解。本文从对教材的观点认识、拓展内容和思想延伸等几个方面阐述了教材延伸是十分必要。

关键词：教材;内容;延伸

几何内容是中小学数学课程重要的组成部分，教育部于2001年7月正式颁布了《全日制义务教育阶段数学课程标准》，在《标准》中将几何作为重要的内容列入到我国义务教育各阶段的数学课程。义务教育阶段七至九年级人教版、北师大版、华师大版等教科书中的几何内容比较接近，人教版安排在第四、第五、第六、第七、第十一章等共十三章。教科书中几何内容主要涉及图形的认识初步、平面直角坐标系、勾股定理、投影与视图等。教师应该站在高度来审视教材，根据课程的需求对教材进行分析，特别是对教材深入理解认识，延伸拓展。以知识重构为切入点，体验学习数学内容的过程，运用“高观点”分析和处理中学数学问题，有利于提升教师的专业能力。

一、 观点认识

人教版教科书是按照“简单说理”“说理”“推理”“用符号表示推理”等不同层次，分阶段逐步加深安排的。通过活动认识图形，十分重视学生的动手操作和参与，教育部审定（2013）人教版教科书七年级上第四章图形的初步认识，注重利用实物和几何模型进行教学，采用实物入手，展示多彩的图形世界与几何知识的密切联系，第119页，笔尖可以看作一个点，这个点在纸上运动时形成线，节日的焰火也可以看成有点运动而成的，笔尖作为一个点运动成圆（图1），汽车雨刮器在挡风玻璃上画一个扇面（图2）。点动成线，线动成面的角度进一步认识几何基本图形，几何图形可看成是点的集合点，几何图形也可以理解为由线组成，点和线两者是相互对应的，点为元素的几何观点和线为元素的几何观点是统一的。平面可以看成点为元素的集合，也可以看成直线为元素的集合;圆可以看成由点构成，也可以看成由直线构成，如图3所示，线包络成圆。可以以点为元素来表达几何对象，事实上，我们完全可以以直线为元素来表达几何对象，几何图形看成是直线的集合。

1831年，普吕克在《解析几何论》第二部分所述，将点坐标与线坐标进行类比“对偶”的方法建立解析几何结构，线几何的观点在射影几何中体现十分显著。点和直线的地位是平等！点有方程，直线有坐标。平面可以看成直线为元素组成;锥面是由一簇直线构成;单叶双曲面、抛物双曲面以及柱面等直纹面实质上是由直线运动生成的曲面;二次曲线看作点的轨迹，也可以看作直线的包络。《普通高中数学课程标准（实验）》（苏教版）选修21中“探究·拓展”内容就体现了线几何的观点，引进齐次线坐标，打破了中学解析几何点与数组一一对应的坐标观点，将以点为基本元素的点几何学转化为直线为元素的几何学。平面上的基本元素直线与点，它们之间的关系是结合关系。满足三元二次方程的点集合称为二次曲线（二阶曲线），满足三元二次方程的直线集合称为二次曲线（二曲级线），二次曲线是成射影对应的点列对应点的联线的集合。这样高度概括的认识，抓住事物的本质，体会数学的观点，打开认识的视野。

二、 思想延伸

从数学文化的角度来说，培养数学的思想和方法是极为重要的。变与不变的数学思想和方法就是其中之一，可以說它贯穿义务教育阶段教科书的始终。教育部审定（2013）人教版教科书八年级下第十七章勾股定理，赵爽弦图（图4），赵爽根据此图指出：四个全等的直角三角形（红色）可以围成一个大的正方形，中空部分是个小正方形（黄色），通过对图形的切割，拼接，巧妙利用面积关系证明了勾股定理.所谓的“出入相补”原理。此方法严谨而简洁，这种证明的方法被一些数学家称为“最省力的证法”，证明过程显示了图形间的相互关系，特别是体现了变与不变的数学思想。刘徽注《九章算术》时，也给了证明，留下注文：“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不移动也，合成弦之幂，开方除之，即弦也。”由于刘徽使用的弦图已经失传，后世数学家只能根据这段注文进行多种解释与推测，清代数学家李潢的补图简单明了，接近刘徽之意。“出入相补，各从其类”，这个原理是说一个平面图形从一处移到另一处，面积不变，形状可能发生变化，体现了变与不变的数学思想。纵观勾股定理证明的欧几里得证明、美国总统Garfield证明、辛卜松证明、梅文鼎证明、杨作玫证明、李锐证明等近20种方法都体现了变与不变的数学思想。

几何变换用近代数学的观点来看就是“几何运算”，几何变换把一个几何图形变为另一个几何图形，什么变了？什么没有变？共同的属性是变中有不变！教科书九年级下第二十九章投影，涉及平行投影与中心投影等。阳光透过长方形玻璃窗平行投影到地面上，地面上出现一个明亮的四边形（如图5），我们应该关注这个几何变换中的不变量与不变性质;如图6，此中心投影将三角形变为三角形，形状没有发生变化，三角形还是三角形，但是三角形的角的大小，边的长度可能发生变化了。用变换群去研究相应的几何学，阐述了几何学的本质是变中有不变，既要抓不变量与不变性质的“不变”，又要抓量与性质的“变”。多边形的内角和与边数有关，而多边形的外角和恒等于360度;又如，等底等高的两个三角形面积相等;等腰三角形底边上一点到两腰的距离之和是常数（定值）等等均蕴含变与不变的数学思想。

三、 内容拓展

人教版教科书第二十四章圆安排了探索四点共圆的条件，利用探究过程，归纳出证明四点共圆的方法主要有四种：一是如果四点到一定点的距离相等，那么这四点共圆;二是四边形的一组对角互补，那么这四边形的四个顶点共圆;三是如果四边形的一个外角等于它的内对角，那么这四边形的四个顶点共圆;四是如果两个三角形有公共边，公共边所对的角相等，且在公共边的同侧两个三角形的四个顶点共圆，通过实践探索对教材内容进行拓展。

第十三章中的轴对称中的最短路线问题，可以延伸到作图问题，拓展到对称变换、平移变换以及旋转变换等进行理解，体会对应点、对应线段、对应图形之间的关系。如图7，左脚印和右脚印中链接一对对应点的线段被对称轴垂直平分。可以理解为右脚印可以通过左脚印经过对称变换得到的。其中，P点变为P′，这一对应点连线段被l平分。第二十七章相似中涉及长度的测量，测量离不开单位。测量长度的常用工具有游标卡尺、钢卷尺、木尺等，如果测量的精度要求不高，可以用步长、肘、拃（如图8）来测量距离。测量依赖于测量工具，归根结底紧紧依赖于单位！数轴的三要素坐标原点、正方向以及长度单位，单位取得不一样，坐标不一样，直角坐标系亦如此。直角坐标系经过仿射变换后得到新的坐标系——仿射射坐标系的x轴与y轴的单位长度也未必一样。把一个正三角形分为全等的四个小正三角形，去掉中间一个正三角形，对剩下的3个小正三角形再分别重复以上做法……将这种做法继续下去，就能得到小格子越来越多谢尔宾斯基地毯（如图9）。这个图的大大小小的三角形之间关系是相似，局部与整体之间是自相似的关系。

图7脚印图8手的拃图9Sierpinsk垫片

这种现象广泛存在，自然界大多数的图形都是十分复杂而且不规则的。例如，海岸线、树木、闪电、海浪等等，它们在欧氏几何领域不可度量，而分数维恰好反映了这种不规则性和复杂性。从传统的几何学出发，用什么样的尺子都很难测量很复杂的几何对象。从分形几何学出发，我们用一个看起来很复杂的测量单位去测量几何对象，所得的结果却十分简单。

用好教材，必须真正理解教材，把握内容之间的联系，从另外一个视角来审视教材，注重观点认识、拓展内容和思想延伸显得尤为必要。

参考文献：

[1]义务教育教科书.数学（7～9年级）[M].北京：人民教育出版社，2014.

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[4]朱德祥.高等几何[M].北京：高等教育出版社，1992.

[5]秦进.圆锥曲线的线几何观点认识法[J].中学数学教学参考，2014（11）：54-55.

[6]秦进.圆锥曲线的中心射影认识法[J].中学数学教学参考，2014（10）：40-41.

[7]秦进.高等几何课程教学的认识与实践[J].遵义师范学院学报，2017（4）：108-110.

作者简介：

秦进，陈明，张少华，代姗妮，贵州省遵义市，遵义师范学院;

简萱慧，贵州省遵义市，遵义市第十六中学。