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吃不完的巧克力

2018-01-24吴朝阳

中国科技教育 2017年8期
关键词:边长长方形正方形

吴朝阳

我们先来说一件趣事。比利时布鲁日市有一个巧克力名牌叫“The Chocolate Line”,它有一款供多人分享的巧克力,是5×13小块的长方形,如图1。

有一天,中学数学教师马蒙(P.Mammone)买了一块这样的巧克力,准备带到课上给学生分享。在拿出巧克力的瞬间,马蒙突然发现他可以做一件有趣的事情。于是,他拿出这块巧克力,掰下右上角的一小块吃掉,把剩下的部分画在了黑板上(图2)。

接着,他把黑板上的巧克力分成3部分(图3)

然后移动拼接成为8×8的正方形(图4)。

接下来,他又把这个正方形分成4块(图5),拼接成了5×13的长方形(图6)。

这样,马蒙老师把一块5×13的巧克力吃掉了1个小单元,最后又拼成了原来的5×13的形状。吃了等于没吃?所以这块巧克力会永远吃不完?演示完毕,马蒙老师把真正的巧克力分给他的学生,然后向他们提出问题——黑板上这“吃不完的巧克力,到底是怎么回事?

学生们二二两两地喃咕着,但好久都没有发现问题。于是,马蒙老师说,大家都习惯于“眼见为实”,虽然明摆着与常识不符,却迷惑于眼睛所见,不能很快发现问题的所在。

事实上,我们首先清楚,8×8=64,5×13=65,因此最后一个拼接肯定是错误的。那么,错误产生在什么地方呢?我们看到,所有直角边的边长,即3、5、8这些数字,衔接得毫无问题,而直角之间的衔接自然也都天衣无缝。因此,问题肯定出在斜线上!

马蒙老师接着说,理性让我们很快发现问题出在斜线上,剩下的事情就简单了,我们马上进行计算——三角形上斜边的斜率是3/8=0.375,而梯形上则是2/5=0.4,二者并不相等!换句话说,梯形和三角形拼接出来的形状,其“斜线”不是直线!实际拼接出来的图形是这样的(图7)。

它的中间有一条很细的缝!马蒙老师接着说,现在,不用计算大家都知道,这条缝的面积肯定恰好等于1小块巧克力的大小!

这个故事告诉我们理性分析的重要性,没有理性的支撑,则“眼见”未必“为实”。然而,故事的背后有一個非常重要的事实,就是:

事实:移动平面几何图形并不会改变它的面积。两个平面几何图形拼接成的图形,其面积等于原来那两个图形的面积之和。

上述这条事实是很多几何证明的基础。例如,大家所熟知的勾股定理,它的很多种证明就都应用了上述事实。比方说,勾股定理的如下证明,它唯一用到的就是上述事实。

大家都知道,长方形的面积等于它的长乘以宽,但是,大家有没有想过它是怎么来的?事实上,如果我们将边长等于1长度单位的正方形(即单位正方形)的面积定义为1(面积单位),那么长方形的面积公式是可以由这个定义出发证明的。

首先,我们考虑边长分别为1和1.1的长方形,它的面积是多少呢?显然,这个长方形的长可以分为11个0.1,宽可以分为10个0.1。因此,这个长方形可以分割成110个边长为0.1的小正方形。而100个这种小正方形正好可以拼成1个单位正方形。根据分割的形式,我们不难得到结论:这个长方形的面积等于它的长乘以宽,即l×1.1。

循着这种思路,我们不难证明:边长是有理数的长方形的面积等于它的长乘以宽。而对于某边长等于无理数的情形,只要我们具备极限的概念,公式的成立也是顺理成章的事情。显然,除了极限的思想,长方形面积公式的证明,同样只依赖于前述事实。

最后我们指出,前述事实自古以来就在几何证明中扮演着最关键的角色。在古代中国,它体现为“出入相补原理”。这条原理的名称毋须多加解释,而根据这条原理,大家可以很快地自行推导出平行四边形、三角形、梯形等平面图形的面积公式,甚至常见立体的体积公式,从未自己推导过的小读者不妨立刻动手尝试。endprint

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