基于开放式问题视角的化错教学初探

许爱珍+李磊

[摘 要] 在真实的数学教学过程中，学生的错误在所难免，如果能用好学生错误的生成性资料，顺势而为，自然而然地引导学生纠错、究错并悟错，能让课时训练目标得到落实和强化. 课前教学设计重视开放式问题的预设，教学过程中相机跟进教学追问，能使学生出现的一些错误、不规范得到纠正，让新课的教学重点得到巩固，让教学难点得到突破.

[关键词] 单项式乘多项式；开放式问题；化错教学

从“单项式乘多项式”的教学

片断说起

我们知道，“整式乘法”的第2课时一般学习单项式乘多项式，由于教学内容并不复杂，不少数学学习有困难的学生也能积极参与课堂. 为了培养他们的数学学习自信心，笔者在教学过程中增加了教学开放度，对一些“学困生”也多进行了一些互动和追问. 以下是该课的一段教学实录.

师：哪个同学能举一个单项式乘多项式的例子？

生1：-■xy33x2+■y-■y2.

师：哪个同学会计算这个式子？用的是我们以前学过的什么方法？

生2：运用的是乘法分配律，即a（b+c+d）=ab+ac+ad.

师：不错！那哪个同学能说说这个多项式里的单项式分别是哪几项.

生3：两项，是-■xy3和3x2+■y-■y2这两项.

师：这个同学讲得对吗？如果不对，应该怎样理解？

生4：错了，他没有搞清楚单项式乘多项式中哪一个是单项式，哪一个是多项式. 3x2+■y-■y2才是所乘的多项式，3x2，■y，■y2才是多项式里的项.

师：生4讲得对吗？

生5：不对，最后一项应该是-■y2，要连同符号一起考虑.

师：这位同学的基础知识掌握得很扎实，那我们下一步该怎么做？

生6：用-■xy3去乘多项式3x2+■y-■y2里的每一项.

师：哪个同学来板演一下？

生7：（展示）原式=-■xy3·3x2-■xy3·■y+■xy3·■y2

=-■x1+2y3-■xy3+1+■xy3+2

=-■x3y3-■xy4+■xy5

师：写得很好，你再来总结一下，解决这类问题有哪些步骤，有什么需要特别注意的地方.

生7：第一步，利用分配律进行分配，同时要确定好符号；第二步，转化为单项式乘单项式，系数与系数相乘，同底数幂相乘.

师：哪位同学出几道题让大家练习一下？

生8：计算：

（1）-■a2b3■a6b3+4a6b2c2；

（2）3a3b4c7（6a7b2+7a3b4z4）2.

师：我们先来看第（1）题，大家观察一下，这道题与我们刚才的题有什么区别和联系？该怎么解决？

学生都露出茫然的表情.

师：那大家分析看看，这道题可以用我们今天学习的方法来解决吗？

生9：可以！

生10：不可以！

师：现在出现了两种不同的意见，你支持哪一种？说出你支持的理由.

生9：我的理由是先将括号内的因式分别乘方，也就是-■a2b3·■a6b32+（4a6b2c）2，然后再做乘法.

生11：我不同意这种做法，因为（x+y）2≠x2+y2，所以不能分别乘方，这样做是错的.

师：你们认为哪个同学的理由是正确的？

生12：我认为第二种意见是对的，括号内是加法，不是乘法，因此不可以用积的乘方公式进行运算.

师：讲得非常好，基本功扎实，我们平时学习时要做到踏实. 后面是一个多项式的乘法，我们暂时还没有学到，所以暂时不会做. 大家再思考一下，我们可以怎样修改，使这道题我们现在就能做呢？

生13：将平方去掉，不就行了吗？

师：大家认为这个建议怎么样？如果将括号外面的平方去掉，能做吗？

生（齐）：能！

师：那看谁做得又快又好.

生14：（板演）原式=-■a2b3×■a6b3-■a2b3×4a6b2c

=-■a2+6b3+3-2a2+6b3+2c

=-■a8b6-2a8b5c

师：做得很好，步骤也很全面，有了这一道题作为基础，我们再看第（2）題怎样修改.

生15：我们也可以将括号外面的平方去掉，变成单项式乘多项式.

师：好，我们就去掉平方，再来练习一次.

生16：（板演）原式=18a3+7b4+2c7+21a3+3b4+4z4

=18a10b6c7+21a6b8z4.

师：这个同学的解题速度很快，我们来看看他做的过程对不对.

生17：不对.

师：错在哪里？

生17：在第一步中，单项式与多项式中的第二项相乘时漏乘了c7.

师：大家想想，他为什么会犯这样的错误呢？我们在解题的过程中如何才能避免这样的错误呢？

生18：按照我们刚才所总结的，他不应该跳步骤，假如按部就班，就能做对.

师：总结得很好，大家再想想，如果不想将平方去掉，怎样调整位置，以我们现在的能力才可以做呢？

生19：我们可以将平方随便加到多项式中的任何一个单项式上.

师：很有思想，这样改之后，我们的运算顺序有没有发生变化？

生20：我们应该先做多项式里的乘方，然后再做单项式乘多项式.

师：非常好！由于时间关系，同学们不妨课后练一练.

关于化错教学的几点思考

近来笔者比较关注小学数学著名特级教师华应龙老师倡导的“化错教学”. 所谓“化错”，是指把课堂教学中的差错融为一种教学资源，相机融入后续的教学过程中，化错误为正确，“化腐朽为神奇”，变“事故”为“故事”. 下面就围绕上文中的教学片断，就初中数学教学过程中的化错教学提出自己的一些初步思考.endprint

1. 预设开放问题，让学生在对话和展示中生成错误

郑毓信教授曾有系列文献推介从数学开放题到开放式的数学教学，然而在我们的数学课堂上，因为开放式问题的数量或质量还有待提高，所以开放式数学教学仍然是我们孜孜以求的一个教学努力方向. 在上文教学片断中，笔者预设了一个开放度很大的问题，即让学生自主举例单项式乘多项式的算式，当得到两个不太适切的乘法算式之后，我们没有简单地舍弃，而是顺势而为，引导学生参与评析、思辨、修改和简化，最终不但将问题引向本课时训练的重点与难点，而且为后续完全平方公式的学习提供了一个较好的“数学现实”.

2. 教者善于倾听，精准捕捉学生错误并融入教学

追求化错教学，对教师教学基本功提出了较高的要求，除了课前预设时对各个教学环节中的开放式问题进行精心预设和充分研判之外，教学时教师善于倾听的专业功夫显得十分重要. 因为开放式问题一旦抛出，学生的回答将丰富多彩，如果教师倾听的专业功夫不够，不能精准地理解和诊评，极有可能失去对精彩课堂生成的捕捉. 我们常常见到课堂上学生的精彩生成不断，但教师跟进评析的能力不足，只能草草应付的情况，甚是可惜，这里，笔者简要提及教学机智的一段教学案例：

音乐教师上公开课，她穿着一件漂亮的裙子，裙子上粘满了五颜六色的五角星，谁上课表现好，可得到一颗五角星. 课上了30分钟时，一个五角星从裙子上掉了下来，被旁边的一个学生拾到了，他把它交给了老师：“老师，您掉了一颗五角星. ”这个音乐教师冷漠地回答：“噢！”随后将五角星粘回自己的裙子. 当这节课快结束的时候，教师的裙子上又掉了一颗五角星，下课时，另一个没有得到五角星的孩子也主动地把五角星交给了音乐教师，但这位音乐教师却说：“下课了，已经没有用了，把它扔了吧！”

可见，如果我们对教学进程中的开放式问题缺少深入思考，没有预设尽可能多的情形时，课堂上往往就难以应对和驾驭一些突发情况，就会错失一些教育契机. 在上面的课例中，如果教师对学生所举的第一个算式的例子视而不见，直接否定，也许这并不影响本课时目标的达成，但是会打击举这个例子的孩子的学习信心和课堂参与热情，同时还失去了相机引导学生明辨单项式与多项式相乘的情况，无法为后续学习预埋一个较好的数学现实.

3. 稚化思维教学，让学生在思辨中纠错、究错与防错

原东北师范大学校长史宁中教授指出，“我们的老师讲课不要太精致，有时要‘拙一点”. 所以，开展化错教学，还有一个重要的教学策略，即稚化思維教学. 当学生（特别是优秀学生）回答一些问题全部正确且过程跳跃时，作为教师，要想到还有不少“学困生”、数学思维反应较慢的学生，为了拉长一些重要知识或概念或解题思路的理解，这时教师可以“装傻”，稚化自己的思维，如提出一些疑问：“你怎么算得这么快？我还没想明白，你能再说详细一点吗？”“你是怎么想到这种思路的？是哪种解题经验启示了你这样思考？”“这条辅助线真是神来之笔，你是怎么想到的？”等. 通过类似的稚化思维，让学生充分展示、暴露思维，这有利于进一步诊评该学生的数学思维，同时也能为一些“学困生”赢得消化、理解的必要时间.

写在后面

当前各种教学模式、教学理念层出不穷、应接不暇，笔者以为，关注教学基本问题，应该是广大数学教师坚守的教学方向，比如化错教学是一个经典教研基本课题，甚至可以纳入教师专业基本功范畴. 本文关于化错教学的一些探索，还很初步，期待更多的案例跟进与实践反思.endprint