循序渐进 以理启智

许玉萍

[摘 要] 本文结合人教版“完全平方公式（1）”的课堂教学策略，谈谈如何结合学程单达成学生知识与规律的自主建构，以及如何促进学生自主学习能力的提升.

[关键词] 自主学习；学程单；策略；能力

人教版“完全平方公式（1）”的过程目标是让学生真正在思考中经历探索完全平方公式的过程；在几何背景的衬托下，达成对公式意义的理解和突破，即突破两个公式的结构特征推算，并应用公式进行简单的计算. 而整个过程，学生经历的乘法公式是初中阶段的一个难点，之所以难，是因为它以字母形式呈现，比较抽象. 为此，教师应结合学生的已有知识与技能，在深入经历计算与思维的过程中突破原先的认知误区，建构乘法公式，并由抽象迈向形象，由认知迈向理解，由建构迈向应用.

问题诱思，感悟新知

问题是思维的源泉，在新课导入环节，我们要善于利用学生已学的知识与技能，借助问题来引导学生学习，启发学生思维，诱发学生思考. 于是，笔者利用任务单来启发学生自主阅读，并结合问题，启发学生思维递进，促进新知自我建构.

任务一：阅读课本P109页，并思考下列问题.

1. 你能用语言叙述平方差公式吗？并用字母表示.

2. 类比“平方差公式”的探究过程，根据所学知识，计算下列各式，并说说你的发现.

（1）（b+1）2=（b+1）（b+1）=_______；

（2）（c+2）2=_______；

（3）（b-1）2=（b-1）（b-1）=_______；

（4）（m-2）2=________.

追问1：上面几个都是形如（a±b）2的多项式乘法，积中的各项有什么特征？

追问2：你能将发现的规律用式子表示出来吗？

追问3：你能验证你发现的规律吗？

【要求】 1. 先自主阅读课本P109～110，并在关键词下做记号，时间2分钟.

2. 每位同学要能举例说明.

3. 做好展示准备，随机抽取，全班共同交流.

上述问题带有明确的目的性和启迪性，能让学生在自主阅读的基础上思考、分析，并具有目的性地建构自己的认识，结合类比的数学思想开启对新知识的思考与计算，最终在计算的基础上建构新的知识规律. 这一系列过程能较好地结合学生的认知兴趣和认知规律，帮助其感悟数学思想，经历数学概念的建构过程，促进能力与兴趣的同步提升.

合作探究，提炼新知

在学校集体受教的制度下，合作学习不仅是一种非常有效的学习形式，更是一种团队合作竞争的有效体验. 学生在合作探究的过程中，需运用团队的智慧（同时伴随竞争意识）解决所探究的问题，并在交流合作中将智慧集中，将问题显性，将质疑突破. 在本节课的第二个教学环节中，笔者采用启发学生合作探究的形式，让学生在合作中探究完全平方公式，在交流中突破难点. 而教师的启发，是通过适时的点拨来启发学生思考，帮助学生提炼新知.

任务二：根据前面探究得出的完全平方公式，尝试归纳.

1. （a+b）2=___________________，（a-b）2=_______________，即（○+△）2=_____________________，（○-△）2=_________________. 上述符号○、△可以表示________________，也可以表示单项式或_________________.

2. 回答问题：（1）这两个公式有何相同点，有何不同点？

（2）你能用自己的语言叙述这两个公式吗？

3. 填表（理解公式的结构特点，见表1）.

在计算的前提下，教师将类比思想巧妙地渗透给学生，让学生在类比的基础上准确掌握两个公式的结构特征，理解字母公式的意义与内涵，且通过问题启发学生在团队合作的基础上，提升语言归纳能力和表达能力，促进学生自主学习能力的提升.

合作再究，拓展新知

学生是课堂的主体，在课堂教学过程中，我们要不断地通过合作探究来还原学生在课堂中的主体地位，以增强学生的学习兴趣. 随着学生兴趣和思维的递进，能真正促进学生思维生长，促进学生知识与技能循序渐进. 就本节而言，笔者采用例题训练、变式总结、问题启迪、对接实际、几何验证、交流对比、总结提升等一系列活动，真正促进学生对相应知识的训练，并促进学生学以致用能力的提升.

任务三：阅读课本P110，归纳以下内容，并完成课本中的思考，再解决下列问题.

例1：运用完全平方公式计算.

（1）（4m+n）2；（2）y-■2；（3）（-a-b）2；（4）（b-a）2.

【要求】 每个学生独立完成，随机抽取四名学生上黑板展示.

变式：（1）课本P110练习1、练习2.

（2）填空：（____+2m）2=4m2+4m+1；（____+2）2=9m2+12m+____.

思考：通过上面例1中（3）（4）题的运算，请问（a-b）2与（b-a）2相等吗？（a+b）2与（-a-b）2相等吗？为什么？

例2：运用完全平方公式进行计算.

（1）1022；（2）992.

【要求】 每个学生独立完成，随机抽取两小组汇报展示.

小结：利用完全平方公式进行计算的一般步骤可归纳如下……

将计算与类比思想相结合，启发学生在实际训练中归纳出利用完全平方公式计算的一般步骤，以此让学生有对规律进行自我建构的时间与空间，让学生的智力得以提升.

任务四：感悟“完全平方公式”的几何驗证.

1. 一块边长为a米的正方形实验田，因实际需要，将其边长增加b米，形成四块实验田，以种植不同的花卉（如图1）.endprint

（1）四块试验田的面积分别为_______、_______、_______、_______.

（2）用两种形式表示实验田的总面积.

① 从整体看，是边长为_________的大正方形，所以S■=________；

②从部分看，其是四块小试验田的面积之和，所以S■=__________.

总结：通过以上探索，你发现了什么？

2. 如果将上述边长为a的正方形实验田的边长减少b米，则其边长又为多少？面积呢？

【要求】 学生分组动手拼出图2，即用手头的彩色纸，在原有的正方形上，拼出现在的正方形，探究其面积的不同表示方法及内在联系，体会完全平方公式的几何背景.

（在整个环节中，教师巡视课堂各小组的进展，及时鼓励各小组之间要相互合作、相互交流，并适时点拨、提醒）

在这一环节，我们将已学的知识与规律通过数形结合思想再一次进行验证和变通，将数与形再一次融为一体，将数学思想融入实际运算，将思维体验切入问题，将问题融入思想.

围绕问题，反思总结

有目的地进行总结与反思，不仅有利于学生自主学习能力的提升，也有助于教师教学行为的开展与挑战，更有利于教师专业素养的提升. 因此，在这个环节中，我们有许多的细节需要通过问题引领来启发学生进行思考与总结，以此加深学生的认知深度，反馈学生的理解效果.

1. 回顾本节课完全平方公式的探究历程，你有什么体会？

2. 说说你是如何理解完全平方公式的.

3. 本节课主要运用了哪些数学思想方法？

4. 你还有什么困惑需要大家帮助解决吗？

【要求】 学生先独立思考1分钟，然后组内交流，随机抽取一个小组汇报，其他小组给予评价并交流不同答案.

达标检测，反馈提升

分层式的达标检测不仅能有效地反馈学生的学习情况，还能激励每个学生参与，以此相对应的，我们的分层检测更能有效满足每个学生的需要和发展，这是公平教育的有效策略. 为此，笔者在课堂最后，通过下面的分层课堂检测来检验教学效果.

【课堂检测】

姓名______ 学号____ 得分____

A组（100分）

1. 下列各式中，计算正确的是（ ）

A. （-m-n）2=m2+2nm+n2

B. （a+2b）2=a2+2ab+4b2

C. （a2+1）2=a4+2a+1

D. （a-b）2=a2-b2

2. 化简（a+b）2-（a-b）2的结果是（ ）

A. 0？摇？摇？摇 B. -2ab？摇？摇？摇？摇 C. 2ab？摇 ？摇？摇 D. 4ab

3. （x+y）（-x-y）的计算结果是（ ）

A. -x2-y2

B. -x2+y2？摇

C. -x2+2xy+y2

D. -x2-2xy-y2

4. 将正方形的边长由a厘米增加6厘米，则正方形的面积增加了（ ）

A. 36平方厘米

B. 12a平方厘米

C. （36+12a）平方厘米

D. 以上都不是

5. 計算：

（1）（-2x+5）2；

（2）■x-■y2；

（3）x-■2.■

B组（20分）

1. 如果x2+ax+1是一个完全平方式，那么a的值是（ ）

A. 2 ？摇B. -2

C. ±2 ？摇D. ±1

2. 若（x+y）2-M=（x-y）2，则M为（ ）

A. 2xy ？摇B. ±2xy C. 4xy ？摇？摇？摇D. ±4xy？摇

【要求】 学生独立完成，时间为5分钟，组长做完后交教师批改，并批改组内其他成员的检测，组长完成后登分.

课堂虽然到此已经结束，学生的训练也有限，但思维的深度和广度是无限的，因此，课堂结束后，笔者经常给学生提供一道每日拓展题（如下），以此促使学生的思维深度得到有效训练和保障.

每日拓展：已知■+a=3，求■+a2的值.

课堂永远是学生的课堂，而课堂中有了循序渐进的思维，学生的主体地位才能得到充分体现，所以我们在课堂教学中需要注重学生最近发展区下的引导与启发，注重学生能力的培养与引领，注重数学思想的渗透与灌输.endprint