基于报童模型的供应链管理中利润与风险平衡研究

张旺

摘要： 研究了供应链管理中利润与风险平衡问题，在已有理论基础上对经典报童模型进行了扩展，把单周期报童模型扩展为双周期带有缺货损失与保管费用的订购模型。用一段时间内的期望利润表示供应链核心企业零售商所挣的利润，采用经典的利润均值方差算法来衡量风险的高低程度。在综合考虑利润的期望与风险平衡时，提出效能函数来平衡收益期望与风险。并结合实例进行模拟仿真，验证了模型的可行性。结果表明：本文带有缺货损失与保管费用的订购模型，比没有保管费用的订购模型所产生的订购量更为合理，用效能函数来平衡供应链管理中的利润和风险具有科学性。

Abstract： The problem of profit and risk balance in supply chain management is studied. Based on the existing theory， the classic newsboy model is extended to expand the single-cycle newsboy model into a two-cycle ordering model with out-of-stock loss and storage costs. The expected profits over a period of time is used to represent the profits earned by retailers in the core supply chain， and the classic profit mean variance algorithm is used to measure the level of risk. When considering the profit expectation and risk balance， this paper puts forward the efficiency function to balance the return expectation and risk. The simulation results show that the model is feasible. The results show that the ordering model with the out-of-stock loss and storage cost is more reasonable than the ordering model without the storage cost， and it is scientifical to balance the profit and risk in supply chain management with the performance function.

关键词： 报童模型；供应链管理；缺货损失；风险平衡

Key words： the newsboy model；supply chain management；out of stock loss；the balance of risks

中图分类号：F253.4；F224.7 文献标识码：A 文章编号：1006-4311（2018）03-0106-04

0 引言

自改革开放三十多年来，我国的经济发展取得了举世目睹的成绩。但是，也带来了诸多的问题，比如：市场消费产品呈现多样化，其使用生命周期也发生了变化。在市场经济大环境下，市场竞争环境以及客户需求带来的不确定性对决策者的影响越来越明显。

一般情况下，风险中性的决策者做重大决策时都尽量规避市场不确定带来的风险。我们都知道，风险与利润是成正比的，风险越大利润越大，风险越小利润越小。然而，怎样才能使利润相对比较大、风险相对较小呢？这就是本文所研究的目的。

在分析供应链环境下产品销售利润与风险中，最常用的理论基础就是传统报童模型。传统经典报童模型前提条件就是假设商品是单周期的，卖不出去必须退回供应商那里。很显然，这个假设与实际不符合。传统经典报童模型还假设当进货量少于或多于市场需求时，对经销商平均利润产生的影响忽略不计。但是，实际销售中这部分影响往往起到关键性的作用。

在某种环境中，如果顾客需要特定的一种产品，而经销商却不能够按照要求提供的时候。这时候，顾客会对经销商的品牌产生怀疑，从而使经销商的声誉受到某种程度的影响。事后，经销商要想弥补这种丢失的声誉，就要在宣传或者其他方面投资，由此而使供应链中整个利益价值链和决策者提供的决策策略也随之发生了变化。市场商机千变万化，而供应链管理恰恰能对市场需求变化的规律做出一定的科学预测，从而协调库存订货量来减小各个企业之间的成本投入和库存风险。在双周期供应链中，当进货量大于市场需求时，经销商也不一定非要以低价把商品退回，也可以保存到下一周期进行销售。何平（2014）[1]研究了扩展的二次订购报童模型，在文章开始就以一个简单的例子证明了，销售商为了获得较理想的纯利润，宁愿剩余货物，也不愿意过早退出市场。所以，风险中性决策者都会优先选择冒险订购策略而非选择保守订购策略。因此，在现实生活中，我们应该把缺货损失资金与仓库保管一个周期的费用考虑到库存模型中，显得更为合理。本文将传统报童模型扩展为带有缺货损失与保管费用的双周期模型。

1 文獻综述

供应链决策中涉及信息流、资金流和物流的管理，对于后两者的研究比较多。大部分都是通过一定的数学建模，来模拟库存对整个供应链产生的影响。众所周知，对于供应链上各个环节的零售商（供应商）来说，“零库存”模式是他们比较青睐的。一些学者和企业家研究利润与风险问题大多是基于报童模型的。学者最初研究经典报童模型，仅仅用于银行金融业，目标函数只是求的核心企业的利润最大值，并没有把市场风险作为一个影响因素考虑进模型中。随着近代科学的发展，学科交叉现象普遍存在，各个行业的学者专家在经典报童模型的基础上又做了许多扩展，比如：模型参数的扩展、决策变量和目标函数的扩展等。其中对目标函数的扩展，表现在管理者做决策的时候，不能只考虑利润最大值，还要考虑利润受库存风险的影响。对于风险中性的投资者来说，他们对风险不排斥也不喜欢。但是，对于风险厌恶型的投资者来说，他们非常厌恶风险，会想尽一切办法规避风险。市场经济环境下，每个人都是社会人，并不是说一定是风险中性或者风险厌恶型的。所以，经常把这两种类型的放在一起进行研究分析，显得更为合理。endprint

Markowitz（1962）[2]最早提出用均值方差的方法来衡量供应链利润风险程度，这一方法在银行资金流领域得到了广泛的应用和扩展，他也因此名声大噪获得了诺贝尔奖。Eeckhoudt（1995）等[3]以经典报童模型为基础，分析了如果市场需求高于初始订货量时，风险适中的投资者可以进行二次订购这种扩展模型，他们发现分二次订货的风险比一次订货风险要低很多。Chen & Federgruen（2000）[4]以经典报童模型为基础，扩展了一系列的库存模型，并引入均值方差的概念，研究结果表明：用均值方差大小来衡量库存风险高低的方法是科学有效的，投资者根据此所得到的最优决策比依据传统库存模型做出的最优决策要更优。Chen（2007）等[5]提出经典报童模型中CVaR度量准则，以此来衡量风险中决策者的最优策略比风险不敏感决策者最优策略更优。Lau等[6]用利润期望除以利润标准差得到一个比值，用这个比值来衡量及回避报童模型中的风险，并提出效能函数的概念，表明：用效能函数来平衡利润与风险是非常科学的。杨建奎等（2009）[7]研究了单周期报童模型问题，在衡量风险的时候对传统的均值方差分析做了扩展，采用了半方差分析法来进行风险分析，研究结果表明与用均值方差度量风险的模型比较，半方差分析法得到的利润比前者大，风险比前者小。胡月华（2013）[8]研究了供应链中各种扩展的报童模型，并把各种扩展模型运用到实例中，对结果进行了对比分析。很多学者从市场需求分布上入手，对报童模型进行扩展，并形成了丰富的成果。宋海涛（2004）[9]等假设市场需求为三角分布，研究了可追加订购报童模型在使得期望收益最大化情况下，分组讨论了进货量的求解算法。

2 报童模型的扩展模型

2.1 模型构建

库存管理是供应链管理中的一个非常重要的组成成分，它体现了企业对市场做出快速反应和库存成本两个矛盾问题。假如：库存商品过多，则核心企业竞争的自由资金就会减小，不利于资金运转。如果，库存商品太少甚至为零，则当市场需求时，核心企业会由于反应过慢错失商机。作为最基本的库存模型之一的报童模型，就是在市场需求为某种随机需求下，零售商寻找产品的最优订货量，使得其利益达到最大值，风险达到最小值。

在供应链管理中，决策者首先要做的就是根据目前市场环境情况，决定商品的订购量q以满足不多于双周期内市场需求量x。假设x是非负的连续型随机变量。其分布密度为f（x），分布函数为F（x）。订购价格为c，销售价格为p，仓库保管费用为r，缺货损失费为s。显然，实际当中应该有如下关系成立：r<

当市场需求不大于订货量时，即x？燮q时，总收入为卖出货物的收入px，加减去保管费用剩余收入（q-x）（p-r），减进货支出cq。

当市场需求大于订购量时，即x>q时，总收入为卖出货物的收入pq，减去进货成本cq，减去缺货损失s（x-q）。

根据上面分析，在双周期内供应链总利润？仔（q）满足如下关系：

？仔（q）=px-cq+（q-x）（p-r），x？燮q（p-c）q-s（x-q），x>q

决策者作为一个社会人在制定策略时，主要考虑利润与风险的函数，目标是使利润最大风险最小，通过转换为线性规划问题，进行一些简单的计算，可以得出决策者决策的最优订购方案。

2.2 最优决策分析

根据传统报童理论[10]，则收益期望E（？仔）如下式所示：

E（？仔）=■[px-cq+（q-x）（p-r）]f（x）dx+■[（p-c）q-s（x-q）]f（x）dx

=（p-c-r）q■f（x）dx+r■xf（x）dx+（p-c+s）q■f（x）dx-s■xf（x）dx

=（p-c+s）q-sE（x）-（r+s）■F（x）dx

对收益期望分别求一次导数和二次导数：

■=（p-c+s）-（r+s）F（q）

■=-（r+s）f（q）？燮0

因为■？燮0，且不恒为零，所以收益期望有最大值。

当■=（p-c+s）-（r+s）F（q）=0时取得最优订货量。此时F（q*）=■ q*=F-1（■）

期望收益是一个关于订货量q的函数，所以其也是一个随机变量。它的实际含义是指零售商某一段时间内的平均收益。收益方差的实际含义表示实际收益与期望收益的偏离程度，也就是本文研究的投资风险。偏离程度越大，风险越大，偏离程度越小，风险越小。则收益期望D（？仔）如下所示：

D（？仔）=E[（？仔-E（？仔））2]

=■[px-cq+（q-x）（p-r）-（p-c+s）q+（r+s）■F（x）dx+sE（x）]2f（x）dx+■[（p-c）q-s（x-q）-（p-c+s）q+（r+s）■

F（x）dx+sE（x）]2f（x）dx

=■[sE（x）+（r+s）（■F（x）dx-q）+xr]2f（x）dx+■[sE（x）+（r+s）■F（x）dx-sx]2f（x）dx

下面把期望收益和風险方差转化为线性优化问题进行讨论：

C1=maxE（？仔）

s.t.D（？仔）？燮r0

C2=min D（？仔）

s.t.D（？仔）？叟p0

其中r0是风险上线，p0是利润下限，问题转化为关于期望与方差的线性规划问题，结合目标函数和约束条件的性质进行分析。

3 算例仿真

假设市场需求X服从均匀分布，即X～U[a，b]，设a=10，b=30。则期望E（x）=■=20，方差D（X）=■=■，零售价格p=14，成本价c=7，缺货损失s=9，保管费用r=1。风险上线r0=-90，利润下限p0=150。

为了便于计算和算例仿真，对收益方差进行转换。

D（？仔）=E[（？仔-E（？仔））2]=E（？仔2）-E（？仔）2

通过前面的分析，我们可以得出扩展报童模型的期望收益和收益方差。两者完全是由数学里面的期望方差演变而来，并没有把单位这个因素考虑进去。然而，在实际中期望和风险都是有单位的。有时候，也会出期望收益很大，收益风险也很高这种矛盾的局面。所以，为了避免不同单位的函数视图问题和其矛盾局面出现，引入效能函数I。效能函数起到了平衡期望收益和收益风险的作用，在一些文献中也有引入效能函数I来平衡收益和风险的情况。定义I？仔=■，从定义中可以看出，效能函数与期望收益成正比，与收益风险的标准差成反比。由于前面证明了期望利润和收益风险函数均为凸函数，所以，效能函数存在最大值。当期望利润取得相对较大值时，而收益风险相对较小时，效能函数取得最大值，此时的订货量满足风险适中的投资者的要求。

图1是根据以上数值假设，用MATLAB工具编程仿真得出供应链利润和风险可视图。其中E（？仔）是市场需求为均匀分布函数的带有缺货损失与保管费用的双周期模型的期望收益走势图。很明显，收益期望是一个凸函数存在极大值，也就是存在最大的订货量q*使其达到最大值。当进货量q<10时，均匀分布的需求在此时处于零需求状态，此时有一定的订货量但不是很多。市場没有需求所以货物都卖不出去，只好堆在仓库等待下个周期再卖出，因而这一段的收益期望为负数，正体现了仓库保管费用。在订货量从10开始缓慢增大时，此时有一定的市场需求，但是需求量很小，此时期望收益变化并不明显。在订货量增加的同时，市场需求也在增加，根据数学理论中的零点定理，可以找到一个点使期望收益为零，此点就是零售商不赔不赚的临界点。

当订货量大于这个临界点时，期望收益出现正值，并且呈现递增趋势。图中订货量在40左右，收益达到最大值，根据最优订货量公式可以算出此时q*=42。市场需求保持不变情况下，若订货量达到最优订货量后仍然表现为递增，此时收益的期望则呈现减小的状态。市场需求一定，订货量越多，库存商品量越大，保管费用增加，因而收益也随之减小。所以，订货量不宜过多也不宜过少。

图1中■D（？仔）是期望收益函数，其中系数■是将收益函数进行成倍的放缩，使其更好地呈现一定的数学规律，其风险的实际含义是表示实际收益与期望收益的偏差程度。从图中可以看出，方差函数处于零轴以下，表明：风险对利润是负相关，其绝对值大小表示风险大小。很明显，方差函数也是一个凸函数存在最大值，并且随着收益期望的增加而增加，减少而减少。这也充分说明了利润与风险的关系，利润越大风险越大。大致在订货量35左右其绝对值达到最小值，随着订货量的增加，风险逐渐变大。通过上面的假设，结合具体的扩展模型进行编程求解，可以得出零售商最优订货量应该在35到42之间。

图1中r0=90，p0=150分别是风险上限和利润下限。对于不同的决策者利润和风险临界值是不同的，有的决策管理者是中性的，对风险并不厌恶，他们认为风险越大，相对利润越大。对于风险厌恶的决策者，往往喜欢低风险，相对高利润的订货策略。所以，这里的风险和利润上下限是根据企业决策者管理思想而定的。满足风险的订货量范围是10到43，满足利润订货量范围是20到65。

图1中500I？仔是效能函数，乘以500是对其进行了有效的放缩，为了使其规律性更容易可视化。从图中可以看出，效能函数也是凸函数存在最大值，最大值在38附近。随着订货量的进一步增加，效能函数逐步下降。综合收益期望、收益风险和效能函数综合考虑，在本次算例仿真中最优订货量应该是38左右。

4 结论

本文对传统经典报童模型进行扩展，提出了带有缺货损失与保管费用的库存模型。通过计算机仿真验证了模型的可行性，并把抽象的数学模型进行可视化表示，报童模型在供应链中呈现的经济学规律一目了然。由于现实中事件的不确定性因素太多，所以提出用效能函数来平衡利润与风险，结果表明：效能函数具有明显的现实意义。综合考虑收益、风险和效能函数之间的关系得出最优订货量，既能满足收益最大化又能满足风险最小化。

参考文献：

[1]何平.二次订购报童模型的理论和算法研究[D].华北电力大学，2014.

[2]Markowitz H M. Portfolio Selection： Efficient Diversification of Investment[J]. Journal of Political Economy， 1962， 35（Volume 70， Number 2）：243-265.

[3]Eeckhoudt L， Gollier C， Schlesinger H. The risk-averse （and prudent） newsboy[J]. Management Science， 1995， 41（5）：786-794.

[4]Chen F， Federgruen A. Mean-Variance Analysis of Basic Inventory Models[J]. Financial Analyst Journal May， 2000， 9（3）：77-88.

[5]Chen X， Sim M， Simchi-Levi D， et al. Risk Aversion in Inventory Management[J]. Operations Research， 2007， 55（5）：828-842.

[6]Lau， H. L.， & Lau， H. S. （1988）. Maximizing the probability of achieving a target profit in a two-product newsboy problem. Decision Sciences， 19（2）， 392-408.

[7]杨建奎，周清，杨磊.报童模型的利润与亏损风险平衡分析[J].系统工程理论与实践，2009，29（3）：100-105.

[8]胡月华.供应链管理中报童模型的研究[D].北京邮电大学， 2013.

[9]宋海涛.可追加订购的报童问题[J].数学的实践与认识，2004，34（4）：67-73.

[10]万仲平，侯阔林，程露，等.报童问题的扩展模型[J].武汉大学学报（理学版），2008，54（3）：259-266.

[11]严海芳.报童模型的亏损风险分析[J].青海大学学报，2010，28（5）：65-67.

[12]胡月华，杨建奎.报童模型亏损风险分析[J].中国科技信息，2013（24）：220-222.

[13]刘家国，吴冲.基于报童模型的两级供应链回购契约协调研究[J].中国管理科学，2010，18（4）：73-78.

[14]张智勇，刘承，杨磊，等.带有缺货惩罚的报童模型半方差风险分析[J].统计与决策，2011（14）：36-40.

[15]张坤.基于供应链管理的报童模型研究[D].山东科技大学，2006.endprint