孙子定理的发展应用

张艺林

摘要：孙子定理又称中国剩余定理，是数论中非常重要的定理，是学习数论和近世代数的基础。据此，论述了孙子定理的发展及其在赋值理论和密码学等方面的应用，给出了简单的证明。

关键词：中国剩余定理；发展；应用

中图分类号：G4

文献标识码：A

doi：10.19311/j.cnki.16723198.2017.30.074

孙子定理又被称为中国剩余定理，是数论中的重要定理，在中国数学史上具有相当高的地位。孙子定理给出了求解同余方程的一般方法，剩余问题在数论和近世代数中都有广泛的应用。

1孙子定理的发展

我国古代就流传着许多传说，譬如“隔墙算”、“剪管术”、“物不知其数”、“韩信点兵”、“鬼谷算”等。古代人民口口相传中的这些传说在现在看来就是一些趣味十足的数字游戏，它们的文字描述不尽相同，但所表达的数学意义是一致的，它们从不同的方面为我们列举出了 “剩余问题”的解法。这在我国古代的数学史上的影响非常大，孫子定理在密码学、多项式、赋值理论等方面也被广泛应用。《孙子算经》是最早记录这类算法的书，十三世纪后期，数学家秦九韶在这方面取得了重大突破，他发现了一种新的算法，命名为“大衍求一术”。

古代流传着一首歌诀：“今有物，不知其数，三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二”。问物几何？歌诀的意思是：有批物品，三个为一组的数，剩余两个；五个为一组的数，剩余三个；七个为一组的数，剩余两个。问这批物品有多少？ 我们将这首歌诀称为“物不知数”问题。

明代数学家程大位在《算法统宗》中如此描述：“三人同行七十稀，五树梅花廿一，七子团圆月正半，除百零五便得知”。意为：把用3除所得的余数乘以

70，加上用5除所得的余数乘以21，再加上用7除所得的余数乘以15，如果所得的数大于105， 就减去105的倍数，即得所求的数。

用数学表达式解释为：2×7+3×21+2×15=233，233-105×2=23。这是早期给出的同余方程组的解法。

下面介绍孙子定理的内容。

3孙子定理的应用

3.1余同加余

一个数除以不同的数得到了一样的余数。我们就能够知道这个数等于这几个除数的最小公倍数的整倍数加上它们一样的余数。这种方法被称为余同加余。

例3三位的自然数，用它除以6余3，除以5余3，除以4余3。则满足条件的自然数有几个？

分析 此题可用孙子定理给出的解法来求解。

解4、5、6的最小公倍数是60，能够得到N=60n+3，已知N是个三位数，这里的n是整数。即n的取值范围为2到16，因此能够取得的数共有15个。

3.2合同加和

一个数除以不同的数得到的余数不同，但每个式子中的除数与余数之和相同，那么这个数即为除数的最小公倍数的整数倍加上余数与除数之和。这种方法称为和同加和。

例4新学期即将来临，学校需要为新生安排宿舍，高一年级共有女生若干人，如果将女生全部安排住进七人间，则会剩下两个人住在一个宿舍里；如果将这女生全部安排住进六人间，则会剩下三个人住在一个宿舍里；如果将女生全部安排住进五人间，则会剩下四个人住在一个宿舍里。试问这个年级总共有多少名女生？

分析从题中我们可以获得的信息有：余数与除数的和一样都是9，采取和同加和原理。

解7、5、6的最小公倍数是210，我们可以总结出的表达式为210n+9，通过计算可以得知本年级的女生人数为219人。

3.3差同减差

一个数除以不同的数得到的余数不同，但是每个式子中除数减去余数的差相同每个式子除数减余数的差相同，那么这个数即为除数的最小公倍数的整数倍再减去除数与余数之差。这种方法称为差同减差。

例5某语文老师让学生写生字，生字总量在一百到一百五之间，小明按照每行写四个生字，最后一行只写了三个生字。小红按照每行写五个生字，最后一行只写了四个生字。小王按照每行写六个生字，最后一行只写了五个生字。试求老师总共布置了多少个生字？

分析通过读题我们能够得到下面这些信息：每位学生最后一行与前面每一行只相差一个单词，能够直接用差同减差。

解4，、5、6的最小公倍数是120，生字总数就可以表示为120n-1，题目限定生字总量在一百到一百五之间，可知老师总共布置了119个生字。

在上面的三类问题中都涉及了孙子定理的数学思想。

3.4孙子定理的密码学方面的应用

随着社会经济的发展和计算机网络的普及，人们的生活更加依赖于数字化的信息技术，依赖于为信息安全提供保障的密码学。孙子定理是数论中的一个基本定理，在现代密码学的研究中有着重要的作用，在公钥加密、秘密共享、数字签名等领域都有着重要应用。

参考文献

[1]李文林.数学史教程[M].北京：高等教育出版社，2004.

[2]陈景润.初等数论[M].北京：科学出版社，1978.

[3]闵嗣鹤.严士建.初等数论（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2003，（12）.

[4]华罗庚.数论导引[M].北京：科学出版社，1995.

[5]李文林.袁向东.论汉历上元积年的计算.科技史文集[M].上海：上海科学技术出版社，1982：7075.

[6]李懋.中国剩余定理及其应用[J].西南师范大学学报.自然科学版，2012.endprint