神秘的非欧几何

鹏飞：“几何学以点、线和面为研究对象，它的历史和人类的文明一样古老。”

浩天：“欧几里得就是几何的化身，《几何原本》中明晰的公理、公设和严谨的定理证明是人类理解时空的最佳途径。古希腊人已经将几何学构建得如此完善，证明过的定理就再也无法推翻，几千年来人们都在研习欧几里得几何。无法超越的感觉令人窒息，好郁闷！”

鹏飞：“欧几里得在《几何原本》中构建了人类有史以来第一座演绎推理的宏伟大厦，它是如此精巧、严谨、完美。但欧几里得并没有将几何学大厦完全封闭，他在这座大厦的某处还留了一条缝呢！”

浩天：“他故意留了条缝？那这条缝在哪儿呢？”

鹏飞：“《几何原本》后面定理的证明都是依据前面的定义、公理和公设推理而来，是无懈可击的，要找它的缝，只能到前面来找。”

浩天：“定义就是合理的人为规定，这没有什么可挑剔的；公理说的是大家都认可的道理，似乎也没有什么缝可钻。公设有几条？”

鹏飞：“公设有5条：

1. 两点之间可作一条直线段；

2. 直线段可以无限延长；

3. 以任意一点为中心及任意的距离可以作一个圆；

4. 所有直角都相等；

5. 若一条直线与另外两条直线段相交，且使一侧的内角之和小于二直角的和，则该侧两条直线段无限延长后必相交。

如果这里还没有缝可钻，那么几何学很可能在2000多年前就封闭严实，变成死水一潭了。”

浩天认真地思索着：“这里确实还有可探讨的地方。1、2两条公设为什么不合在一起，说成‘过两点可作一条直线呢？还有第5公设是所有公理和公设当中最长的一条，感觉比较繁琐，似乎可以通过其他公理和公设证明出来，干吗要单独列出来呢？”

鹏飞：“人们纠结的地方就在这儿，不如直接去问问欧几里得本人吧！”浩天带着疑问跟着鹏飞一起到电脑的虚拟幻境中再次拜访欧几里得。瞬间，他们穿越时空，来到公元前300多年的亚历山大城。他们很快找到了欧几里得的工作室。浩天迫不及待，直接敲门：“欧几里得先生，开门！”

门开了，一位神情忧郁的老人出现在他们面前：“请进。有什么问题吗？”浩天心想，眼前的人已经不像我们以前看到的青年欧几里得，那时他精力旺盛，显得那么自信。

“先生，您好！请问您的第1、2公设为什么不合起来说：过两点可作一条直线。这样不是更简洁吗？”

欧几里得看着已被幻化成古希腊学生模样的浩天，忧郁地摇了摇头：“直线是无限延伸的，长度是无穷的。可谁也无法真正看到无穷长的线。我尽量避免无穷的出现，所以我只承认过两点可作直线段，但直线段可以无限地延伸下去。唉！不可避免还是出现了无穷，这也正是我烦恼的地方。”

浩天知道，我们现代人把这种可无限延伸叫做“潜无穷”，而整条直线则是“实无穷”。浩天紧接着问：“另外您的第5公设，看起来不像其他公设那样简洁明了，可以由其他公理和公设证明出来吗？”

欧几里得显得更忧郁了：“对这一公设我也没有十分的把握，我用多种方法都没能由其他公理、公设证明出来，也没找到比这更直观的等价公设来代替它。”

“那不如改成‘过直线外一点能且只能作一条此直线的平行线，这样不是更简明吗？”浩天一着急把现代教科书上的话说了出来，但他立刻想到这样不妥，“噢！我忘了，您是不想用直线这一涉及无穷的概念，只能说如果同侧内角之和小于两个直角之和，则这两条线段不断延伸后一定相交。”浩天的理解使欧几里得兴奋起来。“那大于两个直角之和呢？”浩天的思维发散开来，“不是也相交吗？”

“是的。”欧几里得解释道，“那是在另一侧相交，叙述起来更显繁琐。”

“如果等于两个直角之和呢？是不是一定不相交？”

欧几里得的脸又阴沉了：“谁也无法判定将这两条直线无限延伸下去会不会相交，所以我也没说等于两直角之和时不相交。”

一直在旁边静听的鹏飞这时插话进来：“如果同侧两内角之和不等于但接近两直角之和，是不是就一定会相交？”

歐几里得看了一眼鹏飞，陷入了沉思，脸上阴云密布。

浩天解围道：“无限接近两直角之和，跟等于两直角之和这种情况一样，也不好验证，而且那两条直线段延伸下去也不一定相交，先生您说对吗？”

欧几里得将脸转了过去，无限惆怅。

“老师再见！”鹏飞拉起浩天就走，边走边小声说，“你这是要逼疯欧几里得啊！你的说法不是直接否定了他的第5公设吗？”

“可是……确实……唉！麻烦的第5公设！”endprint