用对称性和安培环路定理求解长直载流螺线管磁场分布

孙松阳

【摘要】一般教材应用安培环路定理求解无限长直载流螺线管的磁场分布时，将磁场线平行于轴线、管内外磁场均匀、管外磁场为零作为已知结论，然后应用安培环路定理，并未提及这些已知结论的证明过程。针对此点，本文结合磁场的对称性特征，给出这些已知结论的证明过程，然后应用安培环路定理给出螺线管磁场分布。

【关键词】安培环路定理 长直载流螺线管 对称性

【中图分类号】G642.3 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2017）52-0185-01

一、引言

设一无限长直载流螺线管，单位长度上密绕匝线圈，通过每匝的电流强度为，求螺线管内外的磁场分布。这一问题是应用安培环路定理的典型例题[1]，对于这一问题，一般教材通常指出磁场线平行于轴线、管内外磁场均匀以及管外磁场为零，然后直接使用安培环路定理，缺乏对磁场线平行于轴线、管内外磁场均匀以及管外磁场为零的具体证明。本文旨在补充对磁场线平行于轴线、管内外磁场均匀以及管外磁场为零的证明过程，从而给出求解长直载流螺线管磁场分布的完整过程。

二、分析和计算

我们接下来先给出一对镜像对称的电流元所产生磁场的特征，然后利用长直螺线管电流分布的对称性，证明磁场线平行于轴线、管内外磁场均匀以及管外磁场为零，最后应用安培环路定理给出管内的磁场。

1.引理：一对镜像对称的电流元在对称面上产生的合磁场B与此对称面垂直[2]。

一对电流元和相对于平面P镜像对称分布，电流大小相等，长度相等。

相对于P平面镜像对称的电流元和

根据毕奥-萨伐尔定律，两个电流元在对称面上任一点产生的磁感应强度为

根据镜像对称性

所以

由于垂直于对称面P，与平行，故上式括号内为0，而平行于对称面，故上式括号内垂直于对称面，上述引理成立。

2.磁场线平行于轴线Z轴

设长直螺线管轴线为Z轴，在轴上任一位置，作与轴垂直的平面P。螺线管的匝密度均匀，螺线管沿Z轴方向具有平移对称性，故螺线管的电流相对平面P镜像对称。根据1给出的引理，平面P上的磁场方向与P垂直，即P上的磁场方向平行于Z轴。由于P的位置具有任意性，故长直螺线管在空间产生的磁场与Z轴平行。

3.同一条磁场线上的磁场处处相等

任取一条磁场线B1B2，再取该条磁场线上的任意两点B1和B2。螺线管在Z轴方向具有平移对称性，磁场线B1B2平行于Z轴，磁场线上的两点B1和B2也具有平移对称性，根据平移对称性的特征，B1和B2两点的磁场相等。我们也可以这样认为：在磁场线上的任意两点B1和B2观察到的电流空间分布完全相同，根据毕奥-萨伐尔定律，两点的磁场完全相同。由于磁场线是任意的、磁场线上的两点也是任意的，所以同一条磁场线上的磁场处处相等。

4.螺线管内（外）磁场都是均匀磁场

我们在螺线管内作任一矩形环路L1： a→b→c→d→a，一边bc平行于Z轴。根据安培环路定理

根据1知，沿着a→b和c→d的线积分为零，根据2、3可知，在路径b→c和d→a上的强度均相等，方向都平行于轴线，所以

故d→a和b→c上的磁场相等。由于d→a和b→c位于平行于Z轴的任意磁场线上，故螺线管内的各条磁场线上的磁场都相等，即螺线管内的磁场是均匀磁场。根据单个载流线圈在Z轴上产生的的磁场方向向左，可知螺线管内的磁场方向均向左。同理，我们在螺线管外作类似的矩形环路，可用同样的方法证明螺线管外的磁场也是均匀磁场。

5.螺线管外的磁场为零

根据4，螺线管外的磁场均匀，只要给出无穷远处的磁场即可给出螺线管外的磁场。在数量级上，无穷远处的磁场与螺线管匝数、单匝线圈产生的磁场成正比。对无穷远处，匝数与近似成正比，同时根据毕奥-萨伐尔定律知，单匝线圈在无穷远处产生的磁场与1/近似成正比。所以，无穷远的磁场在数量级上近似与1/成正比。结果是，无穷远处时，磁场必然为零。由于管外磁场为均匀磁场，故管外磁场为零。这样，我们通过螺线管在无穷远处的磁场为零证明了管外的磁场为零。

6.螺线管内的磁场

最后，我们运用安培环路定理给出管内的磁场。如图3，作任一矩形环路L2：e→f→g→h→e，一边he平行于Z軸且位于管内，另一边fg位于管外。对该环路应用安培环路定理

根据2-5的结论，可知

将上述两个公式联合，得到管内的磁场为。

三、结论

我们首先根据无限长直螺线管电流分布的对称性，证明了它的内（外）磁场为均匀磁场，然后证明了管外的磁场处处为零，最后才用安培环路定理给出了管内的磁场为。一般大学物理教材以此问题为例应用安培环路定理时，对磁场均匀以及管外磁场为零并未予以证明，我们在此进行了补充。

参考文献：

[1] 赵近芳，王登龙，颜晓红.大学物理下，第四版.北京：北京邮电大学出版社，2014，55.

[2]赵凯华，陈熙谋.电磁学，第三版.北京：高等教育出版社，2011，255.endprint