机械能守恒定律相关问题的思考

摘要：作为三大守恒定律之一的机械能守恒定律，本文将运用数学方法推导出其守恒的条件即外非保守力与内非保守力均不做功；其次本文应用经改进的实验验证机械能守恒定律；最后本文对在应用机械能守恒时普遍存在的几个关键疑惑予以阐述，整理出应用机械能守恒定律时所需要的方法与技巧。

关键词：机械能守恒定律；保守力；非保守力

机械能守恒定律是动力学中的基本定律，即任何物体系统如无外力做功或外力做功之和为零，系统内又只有保守力做功时，则系统的机械能保持不变。作为力学基本定律之一，在很多文献中对于机械能守恒定律各个环节都有描述，但通过查阅文献发现目前未有一篇文献全方面阐述机械能守恒定律的推导、验证、应用等问题。作为理工科类学生我们必须全面认识机械能守恒定律。为此本文将全面、科学地讨论这一经典定律有关问题，首先将应用具体的数学方法推导出机械能守恒定律及其条件，然后通过改进的实验验证这一定律，最后再将机械能守恒与实际问题相联系进而得出应用机械能守恒时所需的方法和技巧。以期通过以上工作加深理科类学生对机械能守恒定律有关问题的认识。

一、 机械能守恒的数学推导

外力做功=外保守力做的功+外非保守力做的功

∑A外=∑A外保+∑A外非（1.1）

内力做功=内保守力作的功+内非保守力做的功

∑A内=∑A内保+∑A内非（1.2）

力所做的功=外力做的功+内力做的功

∑A=∑A外+∑A内（1.3）

将公式（1.1）（1.2）带入公式（1.3）得：

∑A=∑A外保+∑A外非+∑A内保+∑A内非 （1.4）

势能的改变量=末势能-初势能

ΔEP=EP-EP0（1.5）

又∵势能的改变量=保守力做功的负值

ΔEP=-A保（1.6）

由公式（1.1）（1.2）（1.3）（1.4）（1.5）（1.6）可得：

∑A外非+∑A内非=∑（E内P+E外P+EK）-∑（E内P0+E外P0+EK0）=∑（EP+EK）-∑（EP0+EK0）（1.7）

因此：当∑A外非=0且∑A内非=0时

∑（EP+EK）-∑（EP0+EK0）=0（1.8）

由此得证：当外非保守力与内非保守力均不做功时，质点系机械能守恒。

二、 机械能守恒定律的实验验证

在各大版本的教材中验证机械能守恒定律大多利用打点计时器作为计时工具，且在忽略空气阻力与打点计时器纸带所受阻力，利用物体自由下落重力势能与动能的变化来验证系统总能量是否保持总量不变。

对于此种实验方法其自身设计上存在诸多不完善。比如由于对纸带进行长度测量与计算由于读数不准确而产生误差，纸带下落时要受到阻力较大不能完全忽略。重物要克服阻力做功，所以动能EK的增加量略小于重力势能EP的减少量。更有甚者出现动能EK的增加量比重力势能EP的减少量还大这种错误。

为了进一步提高实验的精度，故设计了如下改进实验。在此实验中将使用光束极细的光电门作为计时工具以提高实验的精度。

在此实验中为了进一步减少金属球在下落过程中受到的空气阻力，故选用的金属小球半径极小，以便忽略其所受到的空气阻力。当小球自由下落并通过光电门时，由于小球的直径极小，那么光电计时器所记录的遮光时间t与小球直径d倒数的比值即可近似等于小球通过光门的瞬时速度。随即就可以通过比较物体动能的增量是否等于物体重力势能的减少量，由此便可以检验系统机械能的总量是否保持不变。实验简图如图2.1所示，实验过程如下。

首先，将光电门固定在铁架台上然后再接入数字计时器，然后打开计时器并且将挡位选择为S1。用细线将小钢球系于光电门上方某处并调节其所在位置，使之能够在自由下落的情况下顺利通过光电门。

其次，测量光电门与小球之间的距离记为h。将数字计时器调整到初始位置，剪断细线使小球自由下落，记录小球通过光电门所用时间并记之为t。用螺旋测微仪测量小球的直径记之为d，此长度即为小球在通过光电门这一时间段所内产生的位移。所以小球通过光电门的瞬时速度v近似等于小球直径d与遮光时间t的比值。将所得实验数据记录于表一的中。

最后验证动能EK的增加量与重力势能EP的减少量在误差允许范围内是否相等。

三、 机械能守恒的应用

内力、外力做功与否是判定系统机械能守恒与否的重要依据，在多数情况下可以通过直接判定系统各力做功的情况，既能在合理应用机械能守恒定律的基础上列方程解答有关问题，但是如果内力是变力时，此方法却有先天不足。通过下面实例我们将对此种问题做出合理的处理。

【例1】如圖3.1所示，现有两物体A、B其质量均为m。初始时刻物体A静止套在光滑的水平杆上，此刻水平杆到定滑轮上边缘的长度为a，通过定滑轮与A相连的绳长为b，与水平杆夹角为α，将物体B由静止释放，求物体A能达到的最大速度？

解析：首先判断此系统机械能是否守，由于在此系统中绳的拉力做功所以此系统机械能不守恒。对于A物体，其受重力、支持力、拉力的共同作用，且拉力的大小与方向都是时刻变化，因此只有当拉力的方向与支持面垂直时A物体的速度达到最大。对于B物体，其受重力与拉力，但是由于拉力是变力，所以B物体做竖直向下的变加速运动。

对A进行受力分析如图3.2所示：

由于只有TA对物体A做功，所以TA刚到竖直方向时A速度最大

WTA=12mv2max-12mv20（3.1.1）

对B进行受力分析如图3.3所示

B在下落过程中只受重力GB与拉力TB的共同作用

WGB+WTB=12mv2B-12mv20（3.1.2）endprint

WGB=mgh（3.1.3）

对于方程（3.1.1）（3.1.2）TATB均为变力，因此WTA与WTB为变功，为了计算变量WTA与WTB需使用极限法

即假设A，B发生的位移均极小

对于A：当其水平向右移动s→0时

WTA=TA·s·cosα（3.1.4）

∵s→0

∴s=hcosα（3.1.5）

将（3.1.5）带入（3.1.4）得

WTA=TA·h（3.1.6）

对于B：当其竖直下落距离h→0时

WTB=-TBh（选取初始位置为零势能面）（3.1.7）

∵s→0h→0

∴TA=TB（3.1.8）

由公式（3.1.6）（3.1.7）（3.1.8）可得

WTA+WTB=0（3.1.9）

公式（3.1.1）+（3.1.2）得

WTA+WGB+WTB=12mv2max-12mv20+12mv2B-12mv20=12mv2max+12mv2B（v0=0m/s）（3.1.10）

由公式（3.1.9）与（3.1.10）可得

WGB=12mv2max+12mv2B（3.1.11）

将公式（3.1.3）带入（3.1.11）得

mgh=12mv2max+12mv2B（3.1.12）

由（3.1.12）可得此系统机械能守恒。

由题意可知，在此系统中当vB=0m/s时vmax取极大值

综上：vmax=1m/s

通过以上实例，可知当系统中某一内力为变力时，我们就不能简单的判定系统内力做功之和是否等于零。此时怎么处理此种情况？通过分析例1可知在此系统中能量只在动能与势能之间发生相互转化，而在其他形式的能量之间却没有发生相互转化。当系统中能量只在动能与势能之间发生相互转化时，我们即可判定此时系统机械能守恒。因此我们可以另辟蹊径将判定内力是否做功转化为探究能量是否在某些形式之间发生相互转移。此即为解决当内力为变力时的解题方法。

【例2】一光滑曲面与放置在水平面的传送带平滑连接，如图3.4。一质量为m=0.1kg的滑块由静止从距传送带h=0.2m高处静止滑下。已知传送带水平切面长为l=1.8m，传送带与滑块之间动摩擦因素为μ=0.1，试求：（g=10m/s2）

（1）若传送带始终保持静止，则滑块能否滑离传送带，产生多少热量？

（2）若传送带以1m/s的速度做逆时针方向上的匀速运动，则此时滑块能否滑离传送带，在此过程中产生多少热量？

（3）若传送带以1m/s的速度做顺时针方向上的匀速运动，则滑块需要多长时间才能滑离传送带，在此过程中产生多少热量？

解析：在此过程中，需对全过程进行能量分析，涉及功能关系和能量守恒定律。对于第一问，当小滑块刚滑离传送带且速度恰好为零时即为临界条件。对于第二问，则需判断物体是否在全过程受到滑动摩擦力，而且还需要分析小滑块在下落过程中是否能量守恒。对于第三问，当传送带顺时针运动时需要判断小滑块运动的时间及静止后其与传送带一同运动的距离。

（1）当传送带始终静止时：

假设传送带足够长。则可对小滑块运动全过程运用动能定理

mgh-μmgl0=12mv′20-12mv20（3.2.1）

对于（3.2.1）中v0与v′0由于小滑块是由静止到静止

即：v0=0m/sv′0=0m/s（3.2.2）

由（3.2.2）带入（3.2.1）可得传送带的最短长度为

l′=hμ（3.2.3）

将数据带入（3.2.3）可得到

l′=2.0m

产生的热量

Q1=μmgl0=0.182J

（2）当传送带逆时针转动时：

∵l

∴小滑块始终受到摩擦力的作用，且能滑离传送带

对于小滑块下落这一过程，机械能守恒

mgh+12mv21-12mv20=0（3.2.4）

由（3.2.2）（3.2.4）可得小滑块离开曲面时的速度

v1=2m/s（3.2.5）

小滑块在传送带运动过程中由牛顿第二定律F=ma可得

μmg=ma（3.2.6）

由（3.2.6）可知小滑块在传送带上做匀变速运动，由运动学知识

l=v1t-12at2（3.2.7）

由（3.2.5）（3.2.6）（3.2.7）得小滑塊在传送带上运动时间

t=10-105（3.2.8）

在滑块滑动过程中传送带某一点移动的路程为

l″=v2·t其中v2=1m/s（3.2.9）

由（3.2.8）（3.2.9）可得

l″=1.37m（3.2.10）

由在此过程中产生热量为

Q2=μmg（l+l″）（3.2.11）

由（3.2.10）（3.2.11）可得

Q2=0.32J

（3）当传送带顺时针运动时：

当小滑块静止时v3=v1-at′其中v3=1m/s（3.2.12）

由（3.2.5）（3.2.6）（3.2.12）可得

t′=1s（3.2.13）

小滑块相对滑动的距离

l=v3+v12·t′（3.2.14）

由（3.2.5）（3.2.13）（3.2.14）可得

l=1.5m（3.2.15）

小滑块与传送带相对静止后

运动位移l″″=l-l=0.3m

运动时间t″=l″″v3=0.3m/s（3.2.16）

由（3.2.13）（3.2.16）可知小滑块滑离传送带所用时间

T=t′+t″=1.3s

由（3.2.13）（3.2.15）可知在小滑块滑离过程中产生的热量为

Q3=μmg（l″-v3t′）=0.05J

通过上述例题我们可以得出：滑动摩擦力在其做功过程中伴随着能量的转移与转化，可能是部分机械能由一个物体转移到系统中另一个物体，也有可能有机械能的损失，例如部分机械能转化为内能。

四、 总结

通过以上三部分的讨论，我们对于机械能守恒的数学推导、实验证明和应用有了进一步的认识。为了更好地解答中学生在应用机械能守恒时普遍存在的问题，现将机械能守恒的判定方法介绍如下。

首先，判定系统内部除重力与弹力外，其他形式的力是否做功；若其他形式力不做功，则此系统机械能守恒，若其他形式的力做功，则此系统机械能不守恒。

其次，应用能量转化的观点对系统进行分析，如果系统内的能量只在重力势能、弹性势能与动能之间做相互转化，而没有与其他形式的能量发生此种能量的相互的转化，并且系统也没有与外界发生任何形式的机械能的导入与传出过程，则我们也可以认定系统机械能守恒。

最后，直接判断各种形式的能在机械运动前后总量的增减情况；若系统的动能与势能在机械运动前后总量均发生了变化，则系统机械能不守恒，若系统内各物体在机械运动前后机械能的总量均发生了变化，则系统机械能不守恒。

作为力学中一个重要定律，机械能守恒定律有着举足轻重的地位。我们有理由相信机械能守恒定律是能量守恒定律的特殊情况，机械能守恒定律是关于能量的转移与转化的定律。在中学阶段我们可以认为当能量只在动能、弹性及重力势能之间相互转化时机械能才守恒。合理运用机械能守恒定律能够为我们在日常解决有关问题提供极大的方便，它可以将一些在牛顿力学看起来较为复杂的问题简单化，而且应用机械能守恒定律解决力学问题可以有效避免应用牛顿定律时可能出现的不可预期的困难，是解决力学问题不可或缺的一种简便方法。

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作者简介：

廖二宁，四川省阆中市，四川省阆中中学校。endprint