圆锥曲线与平面交线问题的初等证明

演平��

摘要：研究点光源光线照射下，球体在平面上的射影图形的形状问题时，往往涉及圆锥曲线与平面的截线的证明，这是高中数学的重要课题。本文综合了各种几何知识，分析了这一问题的两种初等解法。

關键词：圆锥曲线；直角坐标法；圆锥面；极坐标法

圆锥曲线与平面的截线问题是一个老问题，本文给出两个初等解法，旨在提供一道综合运用解析几何、立体几何、平面几何等知识，去思考分析解决数学问题的典型范例，供有兴趣的老师及同学参考。

证法一：直角坐标法

设SA为圆锥面的轴，平面M为截面。以SA在平面M内的射影为x轴，顶点S在平面M内的射影O为坐标原点，在平面M内建立直角坐标系xOy（如图1）。

圆锥面的任一条母线SP交平面M于点P（x，y）。

下面我们推导动点P的轨迹方程

作PB⊥x轴于B点，连接SB。当圆锥面及截面M给定后，圆锥母线与轴所成的角∠PSA为常数，平面M与轴SA所成的角∠SAO为常数，顶点到平面M的距离SO为常数，为叙述方便，设∠PSA=α，∠ASO=β，∠BSO=θ，∠OAS=γ，OS=h，其中β+γ=90°，α，β，γ，h为常数，θ为参数。

由图1可知，当P在一、四象限时有|OB|=x，∠ASB=β+θ，当点P在二、三象限时有|OB|=-x，∠ASB=β-θ。下面就先点P在一、四象限时进行分析：

由立体几何知识可知平面SAB⊥面M，PB为平面SAB的垂线，PS为其斜线，SB为PS在平面SAB内的射影，SA为该平面内的直线，由立体几何有关结论可得cos∠PSA=cos∠PSB·cos∠ASB

即cosα=cos∠PSB·cos（β+θ）

此式两端平方得：cos2α=cos2∠PSB·cos2（β+θ）（1）

在直角三角形SOB中，SO=h，|OB|=x，

故SB2=x2+h2

cos2θ=h2x2+h2

在直角三角形PSB中，

BP2=y2，cos2∠PSB=x2+h2x2+y2+h2（2）

cos2（β+θ）=cos2β·cos2θ+sin2βsin2θ-2cosβ·sinβ·cosθ·sinθ=（cos2β）·h2x2+h2+（sin2β）·x2x2+h2-（sin2β）·hxh2+x2（3）

将（2）（3）代入（1）有

cos2α=h2·cos2β+x2·sin2β-hxsin2βx2+y2+h2

整理可得动点P的轨迹方程为

（cos2α-sin2β）x2+hxsin2β+y2cos2α=（cos2β-cos2α）h2

如果引进角γ，方程可化为

（cos2α-cos2γ）x2+hxsin2γ+y2cos2α=（sin2γ-cos2α）h2

当点P在二、三象限时，仍然可推出以上方程，过程类似，不再赘述。

由以上方程可知：

当γ>α时，方程表示椭圆；

γ<α时，方程表示双典线；

γ=α时，方程表示抛物线；

γ=90°时，方程表示圆。

证法二：极坐标法

情形（一）当圆锥轴与平面M相交时，如图2。

设SA为给定圆锥面的轴，平面M为截面。当二者给定后，必存在唯一的一个球与圆锥面内切。若球心为C（必在SA上）球与平面M切于O点。SA在平面M内的射影为直线AO。在平面M内以O为极点，OA为极轴建立坐标系如图2。设圆锥的任一条母线SP交平面M于P点，切球C于B点，则CB⊥SP，CB=CO=R（球半径为定值），连接AP、OP。动点P的坐标设为（ρ，θ）圆锥面的轴与母线的所成的角∠CAO=γ（为常数），∠AOP=θ，OP=ρ，在直角三角形SCB中，CB=R，CS=Rsinα，SB=R·cotα，在直角三角形CAO中，CO=R，CA=Rsinγ，AO=R·cotγ。

利用△SAP和△OAP公共边列出等量关系：

SA2+SP2-2SA·SP·cosα=OA2+OP2-2OA·OP·cosθ

将上述各量代入得

Rsinα+Rsinγ2+（ρ+R·cotα）2-2Rsinα+Rsinγ·（ρ+R·cotα）·cosα=ρ2+R2·cot2γ-2ρRcotγ·cosθ

运用三角函数知识将上式整理化简后可得出点P的极坐标方程为

ρ=R（sinλcosα+tanα）1-cosγcosα·cosθ

情形（二）当截面M平行于圆锥的轴SA时（γ=0），图2中的△POA不复存在，这时可按图3进行证明：

图3

SA为圆锥面的轴，OX为SA在平面M内的射影SA∥OX，圆锥面的任一条母线SP交截面M于点P（ρ，θ），C为内切球的球心。内切球切平面M于O点，连接CO，则CO⊥平面M，设球C切母线SP于B点，有CB⊥SP，且CB=CO=R（球半径），PB=PO（切线长定理）过SA，SP作平面交平面M于L，则L∥OX，在平面M内作OD⊥L于D点。连接CD，则CD⊥L，作SE∥CD，四边形CDES为矩形。

在Rt△OPD中，OP=ρ，∠DOP=θ-π2

∴PD=ρsin（θ-π2）=-ρsinθ（1）

在Rt△SCB中，∠CSB是母线与轴所成角设为α，CB=R，故有SC=Rsinα（2）

SB=R·cotα，在Rt△SPE中

∠SPE=∠CSP=α，SP=SB+BP=R·cotα+ρ

故有PE=SP·cosα=（R·cotα+ρ）（3）

将（1）（2）（3）代入PD+PE=CS中得关系式

-ρcosθ+（ρ+R·cotα）cosα=Rsinα

整理得：ρ=Rtanα1-cosθcosα

当γ=0时的情形（2）的结论也可写成情形（1）的结论的形式。

所以平面截圆锥曲面的截线的极坐标方程为ρ=R（sinγcosα+tanα）1-cosγcosαgcosθ

如果改变观察思考问题的角度，上述证法二的构思过程，也是下面这个生活实际问题的数学模式化的过程。实际问题是：在点光源光线照射下，球体在平面上的射影图形的形状问题。证法二实际上也解决了这一问题，如果点光源改为平行光线（如太阳光），可利用圆柱面的内切球，类似地解决。

作者简介：

演平，陕西省汉中市，城固县第二中学。endprint