考虑参数不确定性的转子系统瞬态动平衡研究*

傅超 任兴民† 杨永锋 邓旺群

(1.西北工业大学 振动工程研究所,西安 710072) (2.中国航空动力机械研究所,株洲 412002)

引言

转子作为航空发动机的核心部件,工作环境复杂,容易引发振动问题.减小转子振动的主要途径就是对其进行动力响应分析并平衡.目前,针对确定转子模型已进行了大量的研究[1-3].在实际复杂机械系统中,不确定性是客观存在的,如材料分散性、转速波动、制造、安装以及测量误差等.它们会导致系统的几何和物理参数不确定,进而使结构的质量矩阵、刚度矩阵、阻尼矩阵等出现不确定性[4].为获得更加客观和合理的结构特性,在转子的动力学设计和动平衡中应该考虑不确定性的影响.

在转子动力学领域,不确定性研究取得了一些有益成果.Gan等[5]基于蒙特卡洛法,分析了转子一阶临界转速对系统参数的敏感性,发现一些敏感参数的不确定性不能忽略.法国学者Sinou等[6]采用递归的随机谐波平衡法来估计多项式混沌展开阶数对具有不确定刚度和非对称耦合转子动态响应的影响.Murthy等[7]考虑降阶模型的不确定性,提出了不平衡转子的非参数随机建模方法,研究发现平衡转速较低时不确定性的影响很大.Ma等[8]采用区间分析方法计算支承刚度、连接结构刚度和不平衡量这些不确定因素对转子动态响应的影响,并通过和蒙特卡洛法对比验证了其有效性.郝勇等[9]结合一阶泰勒展开和摄动有限元法分析了不确定转子的固有属性,结果表明用所提方法计算结果与真实值相比误差在小不确定水平下不到2.2%. Liao[10]基于多维谐波平衡法,研究了考虑不确定性的转子强非线性全局共振优化问题.Yang等[11]对转子非线性响应中分数阶和无理项进行了研究.针对含不确定性转子的动平衡方面研究很少,Li和Huang等人基于影响系数法采用凸模型优化研究了不确定影响下的柔性转子优化平衡问题,并在实际工程转子上进行验证[12,13].可以看出,大部分文献集中于研究不确定性转子系统的稳态响应及临界转速等,很少涉及转子瞬态响应和瞬态平衡问题.

本文把不确定参数视为“未知而有界”的区间变量,结合泰勒展开,提出了转子加速起动过程瞬态响应区间分析法.利用转子瞬态响应信息对一弹性支承双盘转子进行了仿真平衡,分析了不确定参数对平衡效率的影响.

1 转子瞬态响应区间分析法

1.1 区间数表示法

(1)

(2)

(3)

由式(2)和(3)可知,任意区间均可由其均值和半径表示:

AI=[Ac-ΔA,Ac+ΔA]

=Ac+ΔAI

=AC+ΔA[-1,1]

(4)

1.2 转子瞬态响应区间解

变速转子系统瞬时运动微分方程可表示为:

(5)

K(H)U(H,t)=Q(H,t)

(6)

(7)

不确定参数向量可写为确定均值部分和不确定部分的和形式:

(8)

将位移响应在确定性参数向量HC处作泰勒展开,忽略高阶项保留第一阶可得:

u(HI,t) =u(HC+δH,t)

(9)

利用区间数的求和运算自然扩展规律以及|δH|≤ΔH的条件,可得瞬态位移响应的区间解上下界分别为:

(10a)

和

(10b)

(11)

(12)

(13)

(14)

将式(11)～(14)代入转子时变振动微分方程(5)中,并整理同阶项.比较等式两边结构,可得与式(5)相同的零阶方程和由同一瞬时确定性转子系统响应表示的一阶方程:

(15)

(16)

式(16)中F为广义激励项,即:

观察式(15)和式(16)可发现,两式中全部为参数均值的函数而不再含有不确定变量,即问题已变成确定性问题.针对上述两个方程,可以很方便地利用常规数值算法如中心差分法、Newmark-β法等对其进行求解.在求得瞬态响应均值和关于各个不确定参数的一阶泰勒展开系数之后,根据式(10a)和(10b),含不确定性参数的转子瞬态响应区间解上下界就可完全确定.

2 基于瞬态响应的转子瞬态动平衡法

传统柔性转子动平衡法大部分属于稳态方法,需借助专门的动平衡设备,多次加重启动才能确定校正量的大小和方位,周期长、费用高.另外,这些方法选取的平衡转速接近临界转速,长时间在该转速下运行、测量对转子十分不利.瞬态动平衡技术基于加速起车过程,利用转子振动幅值信息进行柔性转子前n阶不平衡识别和平衡,不需要测量振动相位,非常利于航空发动机转子现场平衡[15,16].

根据振动理论,转子的各阶主模态是相互正交的,某一阶的不平衡量只会激起相应阶次的振动,对某一阶模态进行平衡也不会影响到其他阶模态.表示成模态函数形式为:

(17)

式中的Nn为广义质量.

利用主模态正交性,不平衡量的各阶模态分量u(z)可以表示为:

(18)

上式中un,δn分别是第n阶不平衡分量的分布系数和分布方向.则由转子不平衡量引起的瞬时挠度R(z)可以写成如下形式:

(19)

其中瞬时转速与第n阶临界转速的系数比为γn=ω/ωcn.

根据三圆平衡法原理,通过三次施加试重就能识别出转子原始不平衡量的大小和方位.因精确求得或测量模态振型是很困难的,这里基于模态振型正交原理,利用转子加速启动过临界的振动峰值的比值来近似原振型比:

(20)

式中,Rin和Rjn分别代表平衡面i和j上第n阶临界转速的瞬时挠度.v是由对应位置振型决定的正负号.

(21)

为方便分解,引入用平衡平面响应峰值近似的区间主振型模态比:

(22)

解方程组(21)和(22)可显式求得不平衡试重组按照前两阶模态分解的各分量.然后按照矢量合成法则就能求得最终转子的不平衡校正量.

3 不确定性双盘转子瞬态动平衡

弹性支承双盘转子模型如图1所示,假设转轴、弹性支承各向同性,支撑刚度无交叉项.不平衡只存在于质量盘上,轴上不平衡忽略不计.不考虑轴的扭转振动和轴向振动.详细模型参数列于表1中,初始不平衡为e1=50μm∠135°和e2=40μm∠144°.

图1 双盘转子的结构简图Fig.1 Schematic diagram of thedouble-disk rotor

CommonDensityρ=7.8×103kg/m3Young'sModulusE=2.1×1011N/m2ShaftLength:l1=l5=590mm l2=50mml3=160mm l4=180mmDiameter:d=10mmDisksDiameter:D1=0.12m D2=0.09mMass:m1=2kg m2=1.5kgDamping:C1=C2=30kg/sSupportstiffnessk1x=k1y=5×105N/mk2x=k2y=7×105N/m

图2 平衡前后两盘中心瞬态挠度变化Fig.2 Deflection of disks before and after balancing

从两个质量盘中心瞬时挠度平衡前后变化图可以看出,文中的方法平衡效果明显,转子的瞬态响应幅值大大降低.所考虑的模型一阶振动幅值比较大,高出第二阶,经过平衡后,两个盘的第一阶均几乎完全平衡,残余不平衡量很小.第二阶也得到有效控制.两盘各阶模态的振动峰值见表2.

实际动平衡过程中,不可避免地受到不确定性因素的影响.首先测量数据存在误差,在临界转速附近幅值测量也很难精确,必然会引入一定误差.其次支承等结构的物理特性取决于温度等环境因素,造成一定的不确定性.这些不确定性会使得最终识别出的不平衡量大小和方位为分布在一定范围内的区间变量,计算出的不平衡校正量也同样是一组不确定区间变量.

设两质量盘的偏心量e1和e2、弹性轴的弹性模量E、盘2处的物理阻尼C2、弹性支承2的支撑刚度K2均为“未知而有界”的不确定性参数,将这些不确定参数统一用区间数的形式写成aI=[ac-βac,ac+βac).其中a为不确定参数,β为参数不确定性水平,表示参数的不确定程度.

基于本文第一节推导的转子瞬态响应区间分析法,对考虑不确定性的双盘转子进行瞬态响应计算,得到两阶临界转速处的振动幅值区间,并按照瞬态动平衡不平衡识别和分解方法进行动平衡.为考察不确定性的最大影响程度,对于区间分析得到的范围解,本文只给出在同一不确定水平下动平衡效果最差的一组校正量情况.

图3 不确定水平5%时平衡后残余振动响应Fig.3 Residual vibration of disks under 5% uncertainties

UncertaindegreeDeflectionamplitudeofdisk1(μm)Deflectionamplitudeofdisk2(μm)MinimumefficiencyFirstorderSecondorderFirstorderSecondorderFirstorderSecondorder0(Beforebalancing)275.7234.1329.4191.6//0(Afterbalancing)5.8110.26.7123.297.8%35.8%5%54.1100.466.1125.379.9%34.7%10%110.2139.8126.7144.960.0%24.4%

进一步将不确定水平提高至10%,此时对应计算得到的两盘校正量为T1=48.4μm∠301°,T2=50.1μm∠294°,以相同加速度启动转子,得到对应残余不平衡量如图4所示.

图4 不确定水平10%时平衡后残余振动响应Fig.4 Residual vibration of disks under 10% uncertainties

为方便比较,将平衡后瞬态振动挠度降低量与初始不平衡振动量比值定义为平衡效率:

(23)

从图3和图4中残余振动量可知,在不确定性参数影响下瞬态动平衡效率变化很大,特别是一阶残余不平衡振动明显增大,大大降低了平衡效率.第二阶振动峰值上涨相对较小,但也使平衡情况慢慢变差.表2最后两列给出了每种情况下的振动幅值和对应最低的平衡效率,这里给出的最低平衡效率指的是两个盘中平衡后振动抑制效果较差的那一种情况.从表2可知,在5%不确定水平下,一阶平衡效率最大降低为17.9%,二阶降低较小.当不确定水平为10%时,一阶下降则达到37.8%,二阶也降低了11.4%.这表明,在不确定性参数的影响下,采取传统动平衡方法进行转子平衡可能达不到期望的效果,平衡过后残余振动依然很大.以后的研究应考虑不确定性因素,对校正量进行优化选择,以提高其适用性和鲁棒性.

4 结论

不确定性客观存在于复杂机械结构中,区间分析法无需参数的具体概率分布,为结构的不确定性问题提供了一种有效的分析途径.本文提出了区间数学结合泰勒展开以及摄动理论求解转子瞬态响应的区间分析法,将不确定性引入动平衡过程,利用瞬态响应信息对一双盘转子进行了仿真平衡并分析了不确定性对动平衡效率的影响.结果表明,不确定性参数对动平衡结果影响很大,5%不确定水平下转子平衡效率相比确定模型最大降低达17.9%,10%不确定性水平下可降低37.8%.

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