高中生数学思维突破的对策方法研究

邹少兰

[摘 要] 数学是思维的学科，高中数学需要思维支撑. 实际教学中，学生的思维常常会有障碍，思维障碍突破的关键在于抓住作为认知心理的思维的本质，运用表象、逻辑推理以及变式，去有效地培养学生的形象、抽象与直觉思维能力.

[关键词] 高中数学；思维突破；对策方法

思维的重要性对于高中数学学习来说不言而喻，学生在概念、规律理解与数学解题中出现困难的根本原因，还是思维存在困难. 在传统教学思路中，帮学生突破思维障碍的方法不外乎让学生课前预习以形成先行知识、让学生“多练”以培养解题的经验、让学生经历合作学习以借鉴他人思路，等等，这些方式可以在一定时间段或一定范围内取得效果，但对于学生的思维能力培养来说又难以起到“根治”的效果. 事实上，总结这些方法可以发现，它们都是围绕着思维的“外围”在做文章，并没有触及到思维的本质. 那从思维的本质这个角度出发去寻找思维突破的策略，又会有什么样的具体的策略和方法呢？对此笔者进行了研究.

所谓思维，在认知心理学中被界定为人脑借助于语言对客观事物概括和间接的反应过程. 思维的基础上感知同时又超越感知；按照一般的分类标准，思维分为形象思维、抽象思维和直觉思维等. 从思维的定义、基础以及分类来看，高中数学教学中寻找思维突破的策略方法，还应当从不同的思维本身出发去寻找突破途径. 笔者这里拟从三个角度谈谈自己的思考与做法.

基于表象构建，寻找形象思维突破途径

高中数学需要的抽象思维，这是大多数人的认识，这样的判断是有其道理的，比如说数学学习中学生思维加工的对象是抽象了的数与形，这是抽象语言的体现，因此可以说其是抽象思维；数学学习中运用到相当多的逻辑推理，这也是抽象思维的体现. 但需要注意的是，这并不意味着高中数学学习不需要形象思维，相反，很多时候只有提供了形象思维的支撑，学生的思路才能够清晰，逻辑才能够明确，数学思维的突破也才有一个坚实的基础.

形象思维的对象是表象，表象是人看到的事物不在人面前时头脑中关于事物的形象，但有时候表象也不是看到的事物形成的，也有可能是人想象的结果，因此表象中也有想象表象的说法.

高中数学中思维对表象的加工主要发生于概念、规律学习之初，以及问题解决之初，因为无论是概念还是规律的学习，还是问题解决，在初始阶段都需要学生有一个形象的认识.

例如，在“曲线与方程”这一内容的学习中，界定曲线与方程的时候，通常有这样的数学表述：如果曲线C上的点的坐标（x，y）都是方程f（x，y）=0的解，且以方程f（x，y）=0的解（x，y）为坐标的点都在曲线C上，那么方程f（x，y）=0叫作曲线C的方程，曲线C叫作方程f（x，y）=0的曲线.

这是一种纯粹数学的表述，学生理解起来往往存在一定的困难，这个困难就是思维困难，是思维中难以将曲线与方程对应起来的困难. 这个时候教师可以想办法让学生对这段表述的理解变得形象化，形象化的手段未必是直接提供一个曲线以及对应的方程去让学生比较，而应当是基于曲线去让学生寻找相应的方程，或者基于方程去让学生作出相应的曲线. 这里要注意的是，所提供的方程或曲线必须是学生相对熟悉的，因为这个过程不是面向应用的，而是面向曲线与方程的概念理解的. 笔者在教学中是这么做的：先让学生列举出一个自己熟悉的曲线，比如是“圆”；然后让学生写出它的标准方程，这个时候不同学生往往会有不同的想法，比如有的学生会写最简单的方程x2+y2=r2，也有的学生会写（x-a）2+（y-b）2=r2. 这里要特别注意的是，此时让学生写圆的标准方程，不是让学生去机械地回忆，而是强调在写圆的方程的时候，大脑里必须要有对应的圆的图景，说得通俗一点就是大脑里要有一个圆. 其后，让学生结合大脑中想象出来的圆，以（x-a）2+（y-b）2=r2为例进行解释，解释的重点是圆上的点的坐标与圆方程的对应关系，即要引导学生在大脑中完成作为表象的曲线与抽象的方程的对应. 这是一个以数述形、数形结合的过程，也是一个基于表象进行数学概念理解的过程. 事实证明，通过这样的过程，学生对曲线与方程的关系的理解往往是牢固的，这就说明这个地方的思维突破是有效的，从而证明基于表象去突破思维障碍的策略是有效的.

梳理逻辑关系，寻找抽象思维突破途径

如上一点的开始所说，高中数学是以抽象思维为主要思维方式的，抽象思维中的障碍也是学生在数学学习中遇到的主要障碍之一. 经验表明，突破抽象思维障碍的关键有二：一是帮学生建立起高中数学以数、形为思维加工对象，须经逻辑推理才能建构数学知识体系的认识；二是让学生在具體的推理过程中形成显著的逻辑推理能力.

对于第一点，可以在某个章节的数学知识结束之时进行，比如说在“圆锥曲线”的教学中，当学完全部圆锥曲线之后，帮学生建构这一章的知识体系非常重要，这个体系如何生成很值得思考：如果直接给学生呈现知识体系，那么学生就完全陷入了被动的学习之中，他们不知道为什么要这样进行总结；如果不直接给学生呈现知识体系，那么就需要给学生提供一个自主探究、总结、概括的机会. 前者耗时少，能够为后续的习题训练节省相当多的时间；后者耗时多，但对学生的思维突破来说，是一个重要的培养机会. 笔者尝试了后者的教学方式，让学生从“几何背景”出发，思考从哪些角度去对其进行分类——此时学生其实是有两个选择的：一个选择是从椭圆、双曲线、抛物线三种曲线类型去分类；另一个选择是从圆锥曲线的概念、圆锥曲线的标准方程、圆锥曲线的几何性质三个角度去分类. 在教学实践中笔者还发现，有的学生在思考呈现知识关系的时候，是用树形图还是用表格（有的学生在自己的草稿纸上画出四行四列的表格，行的表头中填的三种曲线，列的表头中填的概念、方程与性质），这种表现方式的思考，其实也是抽象思维的重要体现，意味着学生思维中分散的知识开始组成系统，这也意味着学生有了鲜明的将分散的知识综合化的意识与初步能力. 这种意识的形成，其实就是经由逻辑推理形成数学知识体系的过程.

对于第二点，逻辑推理能力的形成并非一蹴而就的，逻辑推理能力的形成必定是在逻辑推理的过程中形成的，这就是“在游泳中学会游泳”常常作为教育隐喻的重要内涵. 显然，对于教师而言，这里的关键是为学生设计一个合理、高效的逻辑推理过程.

在“圆锥曲线”章节学习之后，为了强化学生对圆锥曲线中不同曲线的异同的认识，笔者借鉴教材中的创意，让学生通过写作的方法去判断“离心率相同的二次曲线的形状都相同”. 这个问题实际上是在椭圆的圆心率决定其扁与圆、双曲线的离心率决定其开口大小的基础上提出来的：离心率对抛物线的形状有何影响？为什么抛物线的离心率都是1呢？在这个论证的过程中，出发点往往都是从y=x2这个最简单的抛物线开始的，在坐标系上画出抛物线之后，可再让学生画出另一个抛物线的图像，比如y=4x2. 学生画出图像之后，会发现这两个抛物线的图像并不相同——因为不重合. 这个时候学生对需要论证的对象会有所怀疑，于是教师可以借此机会跟学生强调“抛物线的‘形状”的含义——抛物线的形状不是指抛物线的开口大小，因为在研究中可以发现，y=4x2的图像是可以通过y=x2的图像放大一定倍数得到的，而且更有意思的是，只要开口方向相同，一个抛物线的图像总可以由另一个抛物线的图像放大或缩小若干倍数得到，这就说明不同抛物线总有一个表征“形状”的量，这个量是什么呢？这可以进一步进行逻辑推理……这是圆锥曲线中的一个具有一定难度，同时逻辑性又非常强的推理过程，这个过程如果推理充分，那所花时间应该在二十分钟左右，这二十分钟内，学生的逻辑思维是处于高度运转状态的. 从其他曲线的铺垫，到对抛物线形状的研究，一环扣一环，既应用了已经学过的知识，也推理出了新的结论. 这对于培养学生的逻辑推理能力来说，是一个不可多得的机会.

瞄准解题方向，寻找直觉思维突破途径

無法一下寻找到正确的解题方向，这可能是学生最为头疼的事情了. 尤其是数学证明题，往往就卡在第一步，这种“卡”其实就是思维的卡，即学生思维中已有的知识与解题经验，不足以直接加工题目里提供的信息，这显然意味着思维突破的着力点，应当是学生直觉思维的培养.

实践证明，在这种变式中，学生的思维方式是可以得到巩固的，解题的直觉思维能力是可以得到迁移的.

总之，高中数学思维突破的策略方法，需要依靠思维本质来进行，只有这样才能收到预期效果.