APOS理论视角下的高中导数教学研究

李文磊

[摘 要] 导数不仅是高中阶段函数学习的有力工具，而且也是更高阶段学习的基础. 将APOS理论运用于导数的概念教学中，有利于作为建构主体的学生，通过自主探索形成概念，真正理解导数概念的实质，形成稳定的综合心理图式. 本文在阐述APOS理论视角下的导数概念教学设计原则的基础上，探寻了APOS理论视角下的导数概念教学策略，并以《导数的概念》教学为例进行了深入探讨.

[关键词] 高中数学；APOS理论；导数的概念

导数不仅是高中阶段函数学习的有力工具，而且也是更高阶段学习的基础，然而导数概念较为抽象，如何让学生真正理解导数概念的实质成为广大一线教育者关注的焦点. 美国学者杜宾斯基等人提出的APOS理论将学生作为建构的主体，强调教学中要以学生为主体，让学生自主探索形成概念. 因此，在APOS理论指导下研究高中导数教学具有重要的意义.

APOS理论视角下的导数概念教学设计原则

1. 学生主体地位原则

APOS理论指导下的教学应是利用学生已有知识逐步引导学生建构概念的. 因此，在导数概念教学设计中，教师应充分利用APOS理论所蕴含的教学规律，通过引导、交流等方式调动学生学习的积极性，让学生自己体现概念的形成过程和本质属性.

2. 概念形成完整性原则

教学中应以教学目标为依托，注重操作、过程、对象、图式阶段之间内在联系，以及每个阶段所要安排的教学内容，要按照循序渐进的原则做好各个阶段的协调、统一以及过渡，有效保证概念形成的完整性，实现图式的建构.

3. 自主探究原则

要以学情和教材内容为前提，将教学过程变为学生自己主动探究、建构知识的过程，并在此过程中，要给予学生充足的思考时间，从而达到升华思维、形成概念的目标.

1. 操作阶段

为了让学生初步认识导数概念，教师应从学生现有的认识水平和生活经验着手，设置一系列问题情境，实现知识和经验的迁移.

例如，导数概念教学中，笔者从学生最为熟悉的速度入手，引入高中物理中高台跳水问题，然后选取一些具体数值，从小于0和大于0两个方面入手，体会不断趋近于0值时平均速度的变化，引导学生实现平均速度到瞬时速度的转变，切实让学生感受高中数学中引入导数概念的合理性，为更好地理解导数概念本质做好铺垫.

2. 过程阶段

操作阶段仅是外部刺激，而导数概念形成还需要学生自己构建概念，在具体教学实践中，教师应设置一些问题和探究引导学生对操作阶段、思维活动、课堂小组活动不断思考和总结，帮助学生对概念形成认识，然后从感性认识上升到理性认识，组织形成数学语言，使之成为数学概念.

例如，导数概念教学中，笔者不断组织学生思考、总结操作阶段，理解瞬时速度的实质，抽象出瞬时速度的数学符号. 然后由特殊到一般，以某一时刻的瞬时速度为主题，要求学生思考此时的瞬时速度如何理解、计算等. 最后，将运动员的瞬时速度抽象到函数的瞬时速度，要求学生再次思考如何理解、计算等，并总结以上问题特征与属性，思考导数概念的本质，进而将导数概念与其一般的数学表达式联系起来，模仿得出导数概念.

3. 对象阶段

过程阶段得出的概念是学生不断模仿、概括而得出的概念，这样的概念不仅不利于学生记忆，而且也较为抽象. 因此，为了强化概念的理解，教师应组织学生继续对前两个阶段进行思考和整合，对得出的概念进行补充说明和细节上的辨析，并通过教师示范、习题练习等方式实现由过程到对象的转化，从多种角度理解概念，使其作为一个独立的对象存储于学生大脑之中.

例如，过程阶段得出的导数概念是在平均变化率、趋近思想的基础上概括得出的，而导数前提是在函数上面进行研究的. 因此，笔者在对象阶段，组织学生在前面探究学习的基础上归纳出求解瞬时变化率的一般步骤，并思考Δx可不可以等于零，如何趋近零，导数的具体意义是什么，它在现实生活中的本质是什么，以前所学问题中哪些地方可以发现导数，等等. 同时，阐述x0处有导数必须使函数在x0处有意义，并思考x0处的导数具体该如何表示. 通过以上这一系列的思考，从而帮助学生加深对导数概念的理解，将之前的动态的步骤转变成为静态的结构存储于学生大脑之中.

4. 图式阶段

虽然上述三个阶段经历了概念抽象过程，形成了具有现实问题背景的概念，但要真正把握导数概念的本质属性，则还要建立起与其他概念之间的联系，一方面需要突显概念的本质，建立起概念的内涵与外延引申而来的概念之间的联系；另一方面需要不断学习，建立起导数概念与其他概念之间的联系，并不断调整. 值得注意的是，图式阶段的学习是一个漫长的过程，需要学生不断学习，如果学生一旦形成综合心理图式，则概念也就会深入到学生脑海之中，对于今后遇到的问题能够迅速做出判断并予以解决.

例如，导数概念教学中，通过前面的建构学生已经理解了导数概念的本质属性，此时，笔者通过一些例题加深对导数本质的认识，理解平均变化率、瞬时变化率以及导数概念之间的关系，并应用一些导数定义的变式题目辨析导数概念的本质，从而不断建立比较稳定的综合图式.

仅有相关理论是不够的，导数概念应该是实践性很强的教学内容. 因此，为了加深APOS理论视角下的导数概念教学，笔者以《导数的概念》教学为例进行深入探讨.

1. 操作阶段

为了调动学生已形成的心理图式，笔者从学生的认知水平出发，组织学生温故平均变化率的概念. 同时，为感受概念的直观背景，笔者利用多媒体创设了以下问题情境. 在国际跳水选拔赛中，A运动员在0，跳水时间内图像如图1所示，请观察图像并思考以下问题：

（1）A运动员在这段时间内是否是静止的？

（2）如何描述A运动员的运动状态，如果利用平均速度表述则会出现哪些问题？

（3）当t=1 s时，A运动员的瞬时速度如何去求？

（4）以小组为单位，探讨并完成以下表格，思考平均速度与瞬时速度之间的关系.

2. 过程阶段

为了逐步得出导数概念的定义，不断提升学生的逻辑思维，笔者创设了以下问题组织学生探讨：

（1）A运动员在t=t0时的瞬时速度如何表示？

（2）函数f（x）在x=x0时的瞬时速度如何表示？

3. 对象阶段

观察式子f ′（x0）==，讲解函数在x=x0处有定义，才能求此点处的导数，并组织学生思考Δx是否可以等于0，认清该公式的变形形式. 同时，为了让学生体会导数的应用价值，熟悉求导数的步骤，笔者要求学生完成教材中的例题和习题.

4. 图式阶段

为了帮助学生形成自己的知识网络，学会知识的总结和迁移，笔者通过“谈谈本节课程的收获”“导数概念的实质是什么”等方式让学生自己总结本节课程知识，并设置以下问题将所学知识与常见生活现象紧密联系起来：

（1）在原油精炼为汽油时，已知精炼时间t与原油温度之间存在着以下函数关系：f（t）=t2-7t+15（0≤x≤8），求t=4时的原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.

（2）生活中哪些问题还可以用导数来解释，你能举出幾个？

综上所述，APOS理论视角下的高中导数教学符合现代教学理念，在具体教学中，应遵循APOS教学设计原则，在操作中感受知识的形成过程，真正让学生理解导数概念的实质，形成稳定的综合心理图式.