一道不等式的解法与推广

郝多多++杨雪++魏春强

【摘要】本文对一道不等式给出了几种证法并得到三个推广命题.

【关键词】不等式；解法；推广

题目已知a，b，c∈R+，且满足a21+a2+b21+b2+c21+c2=1.求证abc≤24.

证法一令a21+a2=x，b21+b2=y，c21+c2=z，則0

则求证的不等式变为xyz（1-x）（1-y）（1-z）≤18.①

注意到（1-x）（1-y）（1-z）=（y+z）（z+x）（x+y）≥2yz·2zx·2xy=8xyz，

由此，即知①式成立，其中等号当且仅当x=y=z，即a=b=c时成立.

证法二令a=tanα，b=tanβ，c=tanγ，α，β，γ∈0，π2，则sin2α+sin2β+sin2γ=1.

此时，有cos2α=sin2α+sin2β≥2sinβ·sinγ，cos2β≥2sinα·sinγ，cos2γ≥2sinα·sinβ.

以上三式相乘得

cos2α·cos2β·cos2γ≥8sin2α·sin2β·sin2γ.

因为α，β，γ∈0，π2，所以tanα·tanβ·tanγ≤24，

故abc≤24.

证法三（柯西不等式）根据柯西不等式（n=3）得

[（1+a2）+（1+b2）+（1+c2）]·a21+a2+b21+b2+c21+c2≥（a+b+c）2，

整理得ab+bc+ac≤32.

再由不等式ab+bc+ac≥33ab·bc·ac，

两边立方得a2·b2·c2≤ab+bc+ac3≤18，即abc≤24.

证法四（构造函数）

f（x）=a1+a2x-1+a22+b1+b2x-1+b22+c1+c2x-1+c22

=x2-2（a+b+c）x+（a2+b2+c2）+3.

∵f（x）≥0，∴Δ=4（a+b+c）2-4（a2+b2+c2+3）≤0，

整理得ab+bc+ac≤32.

再由不等式ab+bc+ac≥33ab·bc·ac，

两边立方得a2·b2·c2≤ab+bc+ac3≤18，即abc≤24.

推广1已知a1，a2，…，an∈R+，且满足a211+a21+a221+a22+…+a2n1+a2n=1，则a1a2…an≤1（n-1）n.

推广2已知a1，a2，…，an∈R+，且满足ak11+ak1+ak21+ak2+…+akn1+akn=1，则a1a2…an≤k1（n-1）n.

推广3已知a1，a2，…，an∈R+，λ1，λ2，…，λn∈R+，λ1λ2…λn=1，且满足（λ1a1）k1+（λ1a1）k+（λ2a2）k1+（λ2a2）k+…+（λnan）k1+（λnan）k=1，则a1a2…an≤k1（n-1）n？糞X）〗.

证明令（λ1a1）k1+（λ1a1）k=x1，（λ2a2）k1+（λ2a2）k=x2，…，（λnan）k1+（λnan）k=xn，则0

于是，所求证的不等式变为

x1x2…xn（1-x1）（1-x2）…（1-xn）≤1（n-1）n.②

注意到

（1-x1）（1-x2）…（1-xn）

=（x2+x3+…+xn）（x1+x3+…+xn）…（x1+x2+…+xn-1）

≥（n-1）（n-1）x2x3…xn·（n-1）（n-1）x1x3…xn·…·（n-1）（n-1）x1x2…xn-1=（n-1）nx1x2…xn，

由此，即知②成立，其中等号当且仅当x1=x2=…=xn，即a1=a2=…=an时成立.

即证a1a2…an≤k1（n-1）n.

【参考文献】

[1]陈传理，张同君.竞赛数学教程[M].第3版.北京：高等教育出版社，2013.