基于小孔径圆阵的宽带LFM信号时差测向

王雅婧，罗 明，徐晓煜

(1.民航西北地区空中交通管理局青海分局，青海 西宁 810000；2.西安电子科技大学，陕西 西安 710071)

基于小孔径圆阵的宽带LFM信号时差测向

王雅婧1,2，罗 明2，徐晓煜2

(1.民航西北地区空中交通管理局青海分局，青海 西宁 810000；2.西安电子科技大学，陕西 西安 710071)

对圆阵干涉仪下宽带线性调频(LFM)信号的时差测向方法进行了研究。针对干涉仪测向中常见的相位模糊以及传统时差法不能精确地估计出小孔径的圆阵阵列的基线时差这两大问题，应用了不需要解模糊过程的分数时延估计法求得高精度时延差，并将其代入求得方位角和仰角。根据建立的测向模型，对不同基线组合方式下的方位角和仰角均方根误差进行对比，求得最优基线组合方式，并且从信噪比、基线长度、信号仰角方面分析了测量误差。仿真结果表明，应用本文中的时差法对宽带LFM信号进行测向，在小孔径圆阵的低信噪比环境下仍能获取较高的测向精度。

干涉仪；小孔径圆阵；时差法测向；宽带信号；分数时延估计

0 引 言

干涉仪测向属于相位法体制，主要利用信号到达天线各阵元时产生的相位差来估计到达角。因为其能达到高的测向精度并且物理实现简单，所以应用广泛。干涉仪中最常用的平面阵布局有均匀线阵[1]及均匀圆阵，相较于线阵，均匀圆阵具有孔径小、测向精度均匀、无镜像模糊、能同时进行方位和俯仰二维测向、在没有边缘元素以及耦合不敏感条件下所有阵元都表现出同一波束模式[2]等优点，更加适用于弹载、机载等平台。文献[3]～[5]中建立了圆阵干涉仪模型，阵列接收信号通过鉴相器后得到的相位差为[-π,π]，当实际的相位差超过这个范围时，就会出现相位模糊。当出现相位模糊时各基线组求解得不到准确并且一致的解，所以在测向时必须进行相位解模糊。解模糊方法大多为多基线组聚类解模糊法[5]、长短基线结合解模糊法[6]以及基于剩余定理的互质基线解模糊[7]等方法，解模糊过程增加了测向的计算量，并且解模糊方法的性能也影响着测向的准确性。

干涉仪利用的相位差测向的理论建立在单频电磁波模型基础上，适用于窄带信号，对于有一定谱宽的宽带信号并不适用[8]，会造成较大的测向误差甚至测向错误。本文针对雷达侦察系统中常见的宽带线性调频(LFM)信号，应用分数时延估计时差进行测向，只要满足时延τ

1 五阵元均匀圆阵信号接收模型

图1中所标仰角β与俯角互为余角。R为圆阵半径，阵元m坐标为(Rcos2π(m-1)/5,Rsin2π(m-1)/5,0)，入射信号的单位向量为(cosβcosα,cosβsinα,sinβ)，阵元i到参考点的接收信号时延差如下：

τi=(cosβcosα·Rcos2π(i-1)/5+cosβsinα·Rsin2π(i-1)/5)/v=Rcos(2π(i-1)/5-α)cosβ/v

(1)

式中：v为电磁波传播速度，v=3×108m/s，同光速。

则阵元i到阵元j的时延差为：

τij=τj-τi=Rcos(2π(j-1)/5-α)cosβ/c-

Rcos(2π(i-1)/5-α)cosβ/c=

2Rcosβsinπ(j-i)/5sin(α-π(j+i-2)/5)/c

(2)

以1组长基线13，24为例，联合2条基线的时差进行测向：

τ13=2Rcosβsin2π/5sin(α-2π/5)/c

(3)

τ24=2Rcosβsin2π/5sin(α-4π/5)/c

(4)

对2条基线时延差分别求和、求差：

τ13+τ24=4Rcosβsin2π/5cosπ/5sin(α-3π/5)/c

(5)

τ13-τ24=4Rcosβsin2π/5sinπ/5cos(α-3π/5)/c

(6)

对式(5)两边除以4Rsin2π/5cosπ/5/c,剩余项为cosβsin(α-3π/5)，对式(6)两边除以4Rsin2π/5sinπ/5/c,剩余项为cosβcos(α-3π/5)，构造复数cosβcos(α-3π/5)+icosβsin(α-3π/5)，对其乘以ej3π/5，做3π/5的旋转变换得：

f=cosβcosα+icosβsinα

(7)

运用复数的取模值和求辐角公式就能解得方位角α和仰角β：

(8)

只要求得2条基线的时延差，即能求得方位角α和仰角β，二维求角问题转为求时延差问题。

2 宽带信号时差法测向

2.1 阵列接收宽带信号模型

假设接收信号为幅值为1的宽带LFM信号：

(9)

式中：f0为信号的中心频率；μ为调频系数；B为信号频域带宽；T为信号时域脉宽。

参考点接收到的信号为：

x(t)=s(t)+w(t)

(10)

阵元m接收信号为：

xm(t)=s(t-τm)+wm(t)

(11)

式中：τm为阵元m接收到的信号与参考点接收信号的时延差；w(t)和wm(t)为复高斯白噪声，其均值为0，方差为σ2。

对阵元m接收到的信号xm(t)做快速傅里叶变换(FFT)得：

(12)

在阵列中估计出2条基线的量化时差Dm，即可联合估计得到信号的到达方向(DOA)。

2.2 广义互相关时差估计法

传统时差测量应用相关函数法，利用相关系数越大，信号就越相似的原理，用相关函数的峰值的时间坐标轴位移量表示2个阵元接收到信号的时延。根据公式(11),阵元1和阵元2接收到的信号表示为：

x1(t)=s(t-τ1)+w1(t)

(13)

x2(t)=s(t-τ2)+w2(t)

(14)

假设s(t)和wm(t)不相关，且wm(t)彼此不相关，对上式2个信号直接取互相关得：

Rss(τ-(τ1-τ2))

(15)

Rx1x2(τ)在τ=τ1-τ2处取得最大值。

相关函数法原理简单，但在实际应用时用时间平均代替统计平均，降低了分辨率和测量精度。而且当信噪比很低时，相关函数可能出现多个峰值，将不再适用于时差估计。为了克服其不足，学者们提出了广义互相关估计法。广义互相关法是将2个阵元接收到的信号通过具有同一滤波函数的2个滤波模块，利用信号的互功率谱在频域加权，然后再变换到时域求得互相关函数，从而估计信号间的时差，此类方法提高了相关器输入端的信噪比[10]。

广义互相关函数定义如下：

(16)

因为权函数的取值不同，常用的广义互相关法分为互相关法、最大似然法、平滑相干变换法、Roth冲击响应法、Eckart滤波器法等。

2.3 分数时延估计法

广义互相关法求时差虽然改善了信噪比，在大孔径圆阵条件下能获得高精度的时差估计，但应用于弹载、机载等平台的圆阵时，圆阵孔径较小，阵元间的时延差也很小甚至不是采样间隔的整数倍，所以无法得到精确的时延估计值。要解决这一问题，一种方法是增加采样点数N，在下文仿真部分能够明显看出针对小孔径圆阵，要想得出精确的时差估计值，采样点数的增加倍数可能要达到上百倍，加大了计算量，加重了设备负担；另一种方法则是文中应用的方法，首先对上式基线两端阵元接收到的信号进行FFT，然后两两共轭相乘，求得2个阵元间接收信号时延差的粗估计值，再应用分数时延估计法[11]估计小于采样间隔的时差，得到较为精确的时延差。

文中建立的阵列模型是五元均匀圆阵，在不考虑模糊的情况下，在测量精度方面长基线要优于短基线[12]，所以取圆阵中的2条长基线，联合估计时差。以长基线13、24为例，对阵元接收信号进行FFT得：

(17)

对X1(k)和X3(k)、X2(k)和X4(k)分别共轭相乘得：

(18)

式中：

W1(k)W3(k)

(19)

W2(k)W4(k)

(20)

因为LFM信号频谱抖动不大，所以Y1(k)和Y2(k)可以看作幅度为|S(k)|2、载频分别为D13=D3-D1和D24=D4-D2的信号，其采样间隔为1/N，信号的带宽和原始信号相同，P1(k)和P2(k)为信号的噪声部分。求解量化时差D13和D24即求解Y1(k)和Y2(k)的信号频率。根据奈奎斯特采样定理得Y(k)的信号频率，即量化时差D必须满足2D

对Y1(k)和Y2(k)进行快速傅里叶变换，对其频谱图求谱线峰值位置K1和K2，在[K1-0.5，K1+0.5]和[K2-0.5，K2+0.5]内分别对Y1(k)和Y2(k)进行离散傅里叶变换：

(21)

(22)

式中：c(c>1)为插值率，取正整数。

在进行求解时，c应取合适值，若取太小，则导致估计精度不够；若取太大，则增加了计算量和运算时间。

(23)

(24)

则量化时差D13和D24的精确估计值为：

(25)

(26)

将2个长基线时差代入公式(5)和公式(6)，利用式(7)和式(8)即可求得方位角α和仰角β。

2.4 时差法测向的误差分析

根据阵元i(xi,yi,0)到阵元j(xj,yj,0)的长基线的时差公式为基线向量与入射信号的单位向量点积：

τ13=((x3-x1)cosβcosα+(y3-y1)cosβsinα)/c

(27)

τ24=((x4-x2)cosβcosα+(y4-y2)cosβsinα)/c

(28)

对上式求微分，则方位角α的误差和仰角β的误差可表示为：

(29)

(30)

由式(29)和式(30)可知:

(1) 方位角和仰角的误差正比于时延误差，当圆阵的半径越大，基线长度越长时，时延误差越小，DOA估计的误差也越小；

(2) 当时延的误差值Δτ13和Δτ24确定时，仰角取值越大，测得方位角的误差也越大，但仰角的误差越小。

3 仿真实现和分析

假设接收阵列为半径为R=50 cm的五天线均匀圆阵，入射信号为带宽B=500 MHz，载波中频f0=12 GHz，脉宽T=50 μs的超宽带线性调频信号，入射方位角α=35°，仰角β=55°。为了保证精度，取快拍数N=100 000，则采样间隔为Δt=T/N=0.5 ns。取零均值且方差为1的高斯白噪声作为信号噪声。

常用平面阵相位干涉仪在不存在模糊的情况下用2条基线即可完成二维测向，但由于方位角在(0,360°)范围内变化时，长基线两两组合求得的方位角α和仰角β误差不同，为了避免选取的基线进行测向时的误差较大，选取圆阵中的五条长基线两两基线组合测向，再对5组长基线求得的方位角α和仰角β取均值。

3.1 基线组合方式

为了获得高精度的测向值，文中选取长基线13、14、24、25、35，其时延差分别为τ13、τ14、τ24、τ25、τ35，5条长基线两两组合有2种不同的组合方式：

(1)同一阵元为端点的两条长基线组合，即[τ13，τ14]、[τ24，τ25]、[τ13，τ14]、[τ13，τ35]、[τ24，τ14]；

(2)不同阵元为端点的长基线两两组合，即[τ13，τ24]、[τ24，τ35]、[τ35，τ14]、[τ14，τ25]、[τ25，τ13]；

通过500次蒙特卡罗(Monte Carlo)仿真实验，求得2种不同组合方式下的方位角α和仰角β均方根误差(RMSE)的和分别为0.358和0.304，即方式(1)的测角误差大于方式(2)。所以在进行下文中的仿真分析时使用方式(2)中基线的组合方式。

3.2 两种时差估计法比较

几种常用的广义相关法在高斯白噪声且噪声间互不相关的环境下，直接互相关法和最大似然估计法能够取得最高的估计精度[14]。本文即在此噪声背景下，故选用权函数为1的直接互相关法进行仿真实验。在信噪比为0 dB时，取圆阵半径为[0.5 1 3 5 7 9 11 13],单位为m，求得方位角α和仰角β的误差和分别为[7.814 6、7.679 4、2.520 7、1.569 6、0.938 2、0.464 1、0.312 3、0.301 1]。仿真结果表明，对于大孔径圆阵，采用广义互相关法能得到较高精度的到达角估计值，当圆阵的半径较小，如R=0.5 m时，5条基线间时延差为[1.09、1.74、1.72、1.04、0.03]ns，采样间隔为Δt=0.5 ns，所以对于小于采样间隔的时差部分得不到准确值，存在较大误差。

在同一参数环境下用分数时延估计法仿真得方位角和仰角的误差和分别为[0.515 5、0.289 8、0.082 3、0.078 3、0.040 1、0.030 4、0.022 8、0.004 1]，数据表明分数时延估计法在圆阵DOA估计中能够获得高精度的准确估计值，尤其是应用于小孔径圆阵时，跟广义相关法相比更能体现其优势。下文对分数延时估计法测向进行了仿真实现，并分析了其测向精度以及测向误差。

3.3 测向精度

圆阵阵列接收信号的信噪比从0 dB～21 dB，以3 dB为步进值增加，以500次Monte Carlo实验后的方位角和仰角的RMSE作为误差衡量值，仿真实现了文中所研究的宽带LFM信号的测向算法。仿真图如图2和图3所示。

如图2和图3所示,在信噪比为0 dB时，方位角α和仰角β的RMSE值较小，在信噪比增大时,方位角和仰角的RMSE值减小，误差曲线总体趋于下降。

3.4 测向误差验证

(1) 当均匀圆阵阵列半径从30 cm到1 m以10 cm为步进值时，进行500次Monte Carlo实验，求不同半径下方位角和仰角的RMSE值。得到的数据如图4和图5所示。

由图4和图5可知方位角α和仰角β的RMSE值会随着圆阵半径的递增而减小，跟上文中的误差理论分析一致。

(2) 圆阵半径为R=50 cm，入射方位角α=35°，仰角β从15°到85°以10°为步进值进行500次Monte Carlo实验，方位角α和仰角β的RMSE值如图6和图7所示，信号到达的仰角越大时方位角的RMSE值呈上升趋势，仰角的RMSE值趋于下降，跟误差理论分析结论一致。

4 结束语

干涉仪测向是工程应用中常用的测向手段，其原理是利用基线间的相位差测向，而相位差的本质即时差。干涉仪基线的长度小于半波长时，不会出现相位模糊。针对波长很小的高频信号，很难满足这一条件，采用文中应用时差法可避免解模糊过程，大大简化了测向过程。本文研究了五元均匀圆阵接收宽带LFM信号的时差测向方法，对比了广义相关法和分数时延估计法，并进行了误差分析和仿真验证。由仿真结果可知,对于小孔径圆阵，本文应用的分数时延估计算法能够得到精度远小于采样间隔的基线时差估计值，从而获得较为精确的DOA估计。本文对于小孔径圆阵下的宽带LFM信号进行二维测向研究，并能在低信噪比下得到误差较小的角度估计值，具有实际的工程意义和研究价值。

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TimeDifferenceDirectionFindingofWidebandLFMSignalsBasedonSmallApertureCircularArray

WANG Ya-jing1,2,LUO Ming2,XU Xiao-yu2

(1.Air Traffic Management Subbureau of Qinghai,NWATWB,CAAC,Xining 810000,China;2.Xidian University,Xi'an 710071,China)

This paper studies the direction finding method of wideband linear frequency modulation (LFM) signal based on circular array interferometer.View of the problems that phase ambiguity exists in the interferometer direction finding and traditional time delay estimation method can not accurately estimate the time delay of baseline in the small aperture circular array,this paper applies the fractional time delay estimation method which do not require the course of solving ambiguity to obtain high accuracy estimation of time delay,then gets the azimuth and elevation angle.According to the established models of direction finding,this paper analyzes the azimuth and elevation angle root-mean modulation (RMS) error under different baseline combination,and determines the optimal baseline combination,as well as analyzes the measurement error from the aspects of signal to noise ratio,baseline length and signal elevation at the same time.The simulation results show that applying the time difference method in this paper can get high precision of the wideband LFM signal direction finding in low signal noise ratio (SNR) and small aperture circular array.

interferometer;small aperture circular array;time difference direction finding; wideband signal;fractional time delay estimation

2017-04-16

西安电子科技大学基本科研业务费资助项目，项目编号：JB60221

TN971.1

A

CN32-1413(2017)06-0001-06

10.16426/j.cnki.jcdzdk.2017.06.001