探究高中数学例题解答中导数的典型性应用

朱战鸿

【摘 要】在高中数学的课程改革中，除了保留以往的代数、解析几何、立体几何等内容之外，又加入了向量、概率统计以及微积分的相应内容。为了使高中学生在数学学习中更好地掌握微积分，在例题教学中导数的应用必不可少。本文将通过高中数学教学实践的经验，对高中数学导数例题解答的教学重点进行总结，并结合实际例题，对导数教学的应用方法进行分析。

【关键词】微积分；极限概念；导函数；几何意义

前言

高中学生所具备的数学思维特点，是其在高中阶段学好数学的重要因素。在对高中课堂进行观察中笔者发现，高中学生的思维特点主要表现在预见性、假设性、内省性和差异性等几个方面。这些特点对于高中学生的逻辑思维的深化具有积极的作用。教师利用教学手段，对高中学生的思维特征合理运用，可以促使高中学生的数学学习兴趣得到提升，同时学习效率也会得到加强。

一、高中数学的教学内容和方向

（一）高中数学教学内容

在高中阶段，数学教材内容所需要学生掌握的微积分知识较为初级，因此在导数教学中，针对导数内容，教材会分为几个单元部分，系统全面地对导数的概念和应用进行介绍。以人教版为例，在教材中，就包含了导数与变化率、导数计算、导数在函数研究中的应用、生活中的优化、微积分与定积分的基本概念等几个部分。这些内容的制定为高中数学的导数教学制定了大的规模框架，并明确了教学内容。例如导数在函数研究中应用这一章节，教学内容就应当集中在函数单调性、函数极值、函数最值等方面。

（二）高中数学策略方向

针对高中阶段的导数教学，教师应当有计划地制定教学策略。在目前的教学理论研究中，启发式教学的产生式教学策略效果最为突出，在本文最后的导数例题应用章节当中，教学实例所采用的正是产生式教学方法。这种教学方法是使学生自己明确学习内容和目的，从而根据内容要求，以小组为单位，设定学习目标，安排学习顺序。教师在其中扮演启发者的角色，对学生学习中遇到的难点进行引导。这种教学方法下，学生自主学习和自主探究的能力会大大增强，同时对导数学习的理解将更加深刻，为了解决问题，所需掌握的知识也更加全面。

二、高中数学教学中导数教学存在的问题

导数是高中数学中的重点和难点，一般教材会将这部分内容放置在高三或者是选修课当中学习，这充分说明了高中学生对于导数学习存在相当程度的困难。也正因如此，高中导数教学往往存在一些问题。首先，在教学过程中，教师通常将教学重点集中在导数例题的讲解上，而忽略了学生对导数概念的理解。在这种教学环境下，学生很容易出现概念混淆、含混不清的问题；其次，教学过程忽视推导生成过程，不注重导数与微积分关系的结合；此外，数学思想的形成、导数知识的实用性等与数学学习密切相关的在教学过程中，也被部分教师有意无意的忽视，从而使导数学习成为高中数学的难点。

三、导数概念的教学重点

（一）导数的平均变化率

在高中数学的导数教学中，常常会遇到例如高台跳水、气球膨胀等实际问题，这些实际问题一方面为学生提供导数学习的现实场景便于理解，另一方面，也代表了导数当中平均变化率的特点。以气球膨胀率的问题为例，在现实生活当中，气球随着进气量的不断增加，其膨胀速度则会不断下降。这一现象产生的原因涉及到气球中空气容量和气球半径两个变量，并根据这两个变量可以推算出二者之间的关系，即如公式1所示：

公式1：V（r）=■πr■

其中V为气球中的空气质量，r为气球半径。通过反解则有公式2：

公式2：r（V）=■

通过这两个公式可以看出，在数学意义当中，气球体积不断增大，半径增加量比体积增加量的比值就会越来越小，而比值则是该气球的平均膨胀率。高台跳水问题与气球膨胀率问题相似，都是利用f（x）来表示两个变量之间存在的函数关系，在教学过程中，教师就可以利用现实生活常见场景，进行函数图像表示，使学生的理解更加直观。

（二）导数的几何意义

在教学当中，教师会利用多媒体方式对圆的割线变化趋势进行讲解，并使学生对割线的动态变化产生直观的印象，从而启发学生，获得切线的定义。在动态变化过程中，圆的割线逐渐变化成为切线的过程，是微积分当中“无限逼近”思想方法的一种体现，在学习过程中，学生通过“无限逼近”的方法引领，可以进行割线斜率和切线斜率之间关系的思考，使学生形成数形结合的解题思路，认识到数学对象不同方面的意义。

（三）导函数

导函数内容在教学时，教师会利用函数当中的集合观念，使学生体会导数当中的函数变化，在教学中，教学内容应当十分注重计算性，例如对于瞬时速度的探究，教师可以利用田径运动员的运动过程来帮助学生理解，同时对整个运动过程所产生的瞬时变化率，从而探究出完整过程和运动当中的最大当量，并将运动员的运动组昂太进行刻画。

四、导数在高中数学例题当中的应用

（一）例题中三角函数求导的导数解答应用

在高中数学例题当中，三角函数求导的题目是十分常见的典型例题。例如，已知y=（1+cos2x）■，求y'。在关于复合导数求导中，学生通常存在不熟练的情况，在这个例题当中，2x和x的系数不一样是一个复合过程，这在解题过程中是重要的已知信息，但是在学生解题的过程中通常会被忽略，从而出现错误求导y'=-2sin2x（1+cos2x）。而正确的求导方法需要对例题进行重点考察，再进行正确解答。首先，设y'=u■，u=1+cos2x，则有y■'=y■'u■'=2u（1+cos2x）'=2u（-sin2x）·（2x）=2u·（-sin2x）·2=-4sin2x（1+cos2x），这样就求得了正确的求导答案。

（二）例題中函数极值的导数解答应用

在函数问题当中，函数极值的题目是具有典型特征的函数点调性的考察，从而判断学生对于函数单调性的理解。在题目中，已知函数f（x）=x■（x+1），求f（x）的极值。在这一题目的解答中，需要学生对函数的单调性有一定的理解和判断，并得出f'（x）=2x（x+1）+x■=3x■+2x，此时，令f'（x）=0，则可以得出结论：x■=0，同时x=-■。在这之中，当x∈（-∞，-■）时，则有f'（x）>0，这表明函数f（x）的单调性为单调递增；而当x∈（-■，0）时，f'（x）<0，这表明此时函数f（x）的单调性为单调递减；当，x∈（0，∞），f'（x）>0，此endprint

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时函数f（x）为单调递增。据此结论可以得出，当x=-■时，函数f（x）为极大值，而f（-■）=■；而当x=0时，f（x）为极小值，f（0）=0。

（三）例题中曲线切线的导数解答应用

导数的运用在高中数学的几何题目解答当中得到充分的运用，会使几何题目的解答更加简单便捷，同时提升数学题目的解题效率。在高中数学的课程标准当中，设计到利用导数方法解答的几何题目一般为坐标系切线方程，这类题目具有一个共同的特点，就是在题干当中会给出曲线之外的坐标点，学生根据所学的切线知识，求出这个曲线的切线方程。目前的解答方法当中，利用导数求解是高中生最常选用的。已知曲线C为y=f（x），切线经过点N（x■，y■），求出过点N的切线方程。对于这一题目，学生在进行解答的时候，就会用到导数的相关概念以及方法，解题思路为首先判断切线、点N以及曲线C在坐标系当中的位置关系，在求出相应的导数f（x）'，最后再进行求解。在具体解题过程中，要对点N是否经过曲线C做出判断，并根据不同情况进行导数方程计算。当N在曲线C之上时，这时需要利用导数方程对切线进行表示，即有y-y■=f'（x■）（x-x■），从而求得最终答案。而当N点不在曲线C之上，则需要寻求到相应的切点（x■，y■），并经过y■=f（x■）以及y■-y■=f'（x■）（x■-x■），从而获得具体的切点（x■，y■）的具体数值，并根据这一数值和N值这两个点的坐标，求解出N点经过曲线C的方程，其方程的表示为y-y■=f'（x■）（x-x■）。

结论

在高中数学的解题应用当中，导数作为高中数学教学的重点和难点，同时也是解题思路形成的最好方法之一，是提升解题效率的优良应用。在解题过程中，导数非但能够对三角函数、函数极值、切线方程进行解答，同时还应用于立体几何、向量以及解析几何的题目当中。教师在进行教学时，可以充分利用导数的解题优势，在例题讲解的过程中对具有典型性的例题进行导数解题的应用，帮助学生形成导数解题思维。

【参考文献】

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