频率—波数域滤波在浅层地震勘探中的应用

刘伟祖　钱芬芳

摘 要：对于时空域的地震记录，经过二维傅里叶变换到频率-波数域，不同视速度不同频率的波映射为频-波图中过原点的不同斜率的射线上的点。通过识别干扰波的视速度和频率范围，我们就可以设计频率-波数域滤波因子对干扰波进行消除或压制。本文采用FFTW离散傅里叶变换计算库实现二维傅里叶变换，实现了频率-波数域滤波。采用野外浅层地震单炮数据作了消除干扰的试验，得到了预期的效果。

关键词：频率-波数域滤波；FFTW；浅层地震勘探

中图分类号：P631.443 文献标识码：A 文章编号：1671-2064（2018）23-0182-02

浅层地震勘探的环境一般较为复杂，容易受到人类活动、工业生产、车辆等机械振动形成的干扰[1]。这些干扰噪声可能来自不同的方向，不同的时间。通过识别有效波与干扰波之间的视速度和频率差异，就可以对地震数据中的这些噪声进行压制或消除。本文，我们对频率-波数域滤波（F-K滤波）的原理进行简单的介绍，然后通过野外浅层地震数據对该滤波器的应用效果进行试验分析。

1 F-K滤波基本原理

假设有地震记录，只对空间x做傅里叶变换到波数k域，得到时间-波数域波场，然后对时间t做傅里叶变换到频率f域，得到频率-波数域波场，即可实现二维傅里叶变换。通常把在（f，k）平面上的投影图称为频-波图（图1a所示），其中频率与波数之比为视速度。

对于频-波图有以下结论：

视速度为某一定值时的任何平面简谐波在频波图中都映射为过原点的同一条射线，频波图上直线的斜率就是直线上各点对应的平面波所具有的视速度。由，其中为相邻检波点的距离，为波到达相邻检波点的时差，可知在时间剖面上同相轴斜率。即在时间剖面上同相轴倾斜越厉害，则降低；同相轴较平缓，则较大；反映在频-波图上则为对应的角较大，越小，而角越小，则越大[2]。如图1a，二维频率-波数域滤波（F-K滤波）就是保留给定门[f1，f2]，与速度门[v1，v2]共同区域D的波频谱，而把D外的区域全部充零。F-K滤波可表示为：

（1）

其中为频-波谱，为频-波域滤波响应，为滤波后的结果。

的设计需要注意两点：一是滤波区域的选择；二是避免因截断效应产生的Gibbs效应。对于给定的M道地震数字记录，其中，，它是以为周期的双周期函数，故时间域基频，空间域基频。在波频谱中，是Z矩阵的一个对称点，以点为中心的两个对称点上波频谱与为共轭复数，如图1b中，区域1和区域3对称，区域2和区域4对称[3]。

在二维的地震记录中，随着x增加，波组t0值增大的波组，称为正视速度波组。而随着x的增加，波组t0值减小的波组称为负视速度波组。根据对称性，正视速度波组在F-K谱中，能量主要集中在第二、四象限，负视速度波组能量集中在第一、三象限。根据周期性可知，在图1b中，正视速度波组对应2、4区域（灰色区），负视速度波组对应1、3区域（黑色区）。赵访熊、李庆扬证明，若保留图1b中2、4区，则保留正视速度波组；若保留图1b中1、3区，则保留负视速度波组；若全部保留，则会产生炕席现象[4]。

为了避免因为截断效应而产生Gibbs效应，我们需要给滤波器镶边，我们采用的镶边函数公式为：

（2）

其中，L为镶边长度，可以根据具体情况给定。

2 计算机实现

我们采用FFTW离散傅里叶变换计算库实现二维傅里叶变换，该库计算效率高、速度快，可以计算任意长度数据的一维、二维及更多维的傅里叶变换。FFTW由麻省理工学院计算机科学实验室超级计算技术组开发的一套离散傅立叶变换（DFT）的计算库，开源、高效和标准C语言编写的代码使其得到了非常广泛的应用[5]。

有了二维傅里叶变换，我们就可以实现速度滤波。首先应用二维傅里叶变换，将x-t域地震记录变换到f-k域；然后乘以f-k域滤波因子H（f，k）；最后，通过二维逆傅里叶变换将数据变换到时空域。滤波器的设计需要给定频率区间[f1，f2]与速度区间[v1，v2]。为了避免Gibbs效应，我们需要给滤波器镶边。

3 实际数据试验分析

我们选取了某地区一条测线的浅层地震数据来验证F-K滤波的效果。该测线总共31炮，单边放炮，0.125ms采样，每炮有12道接收，5m道间距。图2a所示中的数据是该测线的第24炮的炮集数据，我们对该数据做了一维带通滤波和面波切除处理，目的消除面波并压制低频和高频的干扰。

图2a单炮数据的采集震源点位于第1道的左端，偏移距为20m。因此，其有效波波组随道号的增加，其旅行时（t/s）应逐渐增大。即图2a中正向的波组为有效波，反向的波组为噪音。该噪音可能来自于接收道末端方向的工业生产、车辆等机械振动形成的干扰。我们通过设置滤波门[30Hz，75Hz]、[400m/s，4000m/s]，且只保留正视速度波组（图1b中2、4区域），用F-K滤波对反向波组的噪音进行压制。我们滤波后的结果如图2b所示，其中负向波组的噪音已经完全被压制，说明了F-K滤波对这种噪音压制的有效性。

4 结语

通过F-K滤波原理的叙述和实际数据的分析，说明了F-K滤波可以很好地压制与有效波视速度有差异的干扰。F-K滤波作为二维滤波，其可以结合地震数据的频率和视速度，对有效波频率和视速度之外的干扰进行压制，从而提高地震数据的信噪比和分辨率。需要注意的是，F-K滤波参数选择不当可能会出现虚假的同相轴，所以对于滤波参数的设置需要根据具体情况进行对比分析。

参考文献

[1]刘保金，张先康，方盛明，等.城市活断层探测的高分辨率浅层地震数据采集技术[J].地震地质，2002，（4）：524-532.

[2]张白林，潘树林，尹成.地震资料数字处理方法.第2版[M].石油工业出版社，2011.

[3]清华大学计算数学专业油田科研组，等.傅里叶变换滤波在地震勘探数字处理中的应用[J].石油地球物理勘探，1978，（5）：1-15.

[4]何潮观.F-K数字滤波器的设计和应用[J].石油地球物理勘探，1985，（5）：474-489.

[5]Frigo M， Johnson S G. The Design and Implementation of FFTW3[J]. Proceedings of the IEEE， 2005， 93（2）：216-231.