多角度解析一道二元条件无理式的值域

邹生书

题目  若a≥0，b≥0，a+b=1，则 a+ 1 2  + b+ 1 2  的值域是 .

这是一道二元条件无理式的值域问题，条件等式与所求式子结构简洁轮换对称.本题短小精炼，内涵丰富，解法灵活多样，多角度解析这道题目可达到以点带面以少胜多，做一题通一类复习一大片的良好效果.下面给出该题的多角度思路分析与解答，希望对读者有所帮助. 思路1 轮换对称，猜想赋值求最值

解析1  这是一道二元条件无理式的值域填空题，注意到条件等式与所求式子轮换对称，根据经验猜想最值在变量相等或极端状态下取得.当a=b= 1 2 时， a+ 1 2  + b+ 1 2  =2;当a=0，b=1或a=1，b=0时， a+ 1 2  + b+ 1 2  =  6 + 2  2 <2.于是猜想 a+ 1 2  + b+ 1 2  的值域是[  6 + 2  2 ，2].

上述猜想是否正确呢？即[  6 + 2  2 ，2]是不是所求式子的值域呢？怎样理性地求解最大值和最小值呢？对于 a+ 1 2  + b+ 1 2  的最大值我们可用柯西不等式、均值不等式和琴生不等式三种方法求解，解法如下：

知a，b∈[0，1].由琴生不等式得 f（a）+f（b） 2 ≤f（ a+b 2 ）=f（ 1 2 ）=1，则f（a）+f（b）≤2，即 a+ 1 2  + b+ 1 2  ≤2，当且仅当a=b= 1 2 时等号成立.

评析  用柯西不等式、均值不等式、琴生不等式求解，只能求出最大值无法求出最小值.不等式法虽然有其独特的一面但有很大的局限性，最多只能求出最大值和最小值中的一个.求多元函数值域或取值范围问题的常用方法是函数法，通过构造函数同时也可结合不等式、几何图形来解决.

思路2 平方后将两个无理式变成一个无理式求解

解析2  设y= a+ 1 2  + b+ 1 2  ，两边平方得y2=a+b+1+2 ab+ 1 2 （a+b）+ 1 4  ，因为a+b=1，所以y2=2+2 ab+ 3 4  .

（用均值不等式和函数思想求值域）由均值不等式得1=a+b≥2 ab ，又a≥0，b≥0，所以0≤ab≤ 1 4 .当ab=0时，y2

min=2+ 3 = 4+2 3  2 =  （ 3 +1）2 2 ，所以ymin=  3 +1  2

=  6 + 2  2 .当ab= 1 4 时，y2max=4，所以ymax=2.

故 a+ 1 2  + b+ 1 2  的值域是[  6 + 2  2 ，2].

另解 （消元后用二次函數求值域）由a≥0，b≥0，a+b=1，得b=1-a，代入y2=2+2 ab+ 3 4  ，得y2=2+2 -a2+a+ 3 4  ，其中a∈[0，1].由二次函数图象和性质知，当a= 1 2 时，y2max=4，则ymax=2.当a=0或a=1时，y2min=2+ 3 ，得ymin=  6 + 2  2 .故 a+ 1 2  + b+ 1 2  的值域是[  6 + 2  2 ，2].

设z=x+y，则z就是过圆弧上的点（x，y）的直线l：z=x+y在y轴上的截距.由图知，当直线l过圆弧中点Q（1，1）时，直线l在y轴上的截距z=2最大;由于直线l与直线AB平行，所以当直线l过圆弧两端点时，直线l在y轴上的截距z=  6 + 2  2 最小.

解题有三个境界：就题论题，以题论法，以题论道.解法与境界因题而异因人而异，一题多解，一题多变，多题一法，要培养学生沟通题与题之间的联系，区分法与法之间的异同，构建知识网络，深化对问题的认识，提高分析问题和解决问题的能力，提升数学综合素质和核心素养.