构造特殊三角形，巧解向量客观题

曹志栋

【摘要】平面向量解决三角形问题可以让学生深刻体会到向量在几何中的作用.本文就向量问题的解决方法几何法、坐标法、基底法解决三角形问题做以探讨.

【關键词】构造；特殊三角形；平面向量；客观题

平面向量的运算性质使其具有数的属性、其可度量性又使其具有几何特征，所以平面向量具有数形二象性，所以它也在数与形之间作为一个“中间人”的角色，起着桥梁作用.三角形是我们认识过程中所接触到的第一个封闭图形，并且其他平面图形都可看作是三角形的衍生物，几何度量中的角度、长度、面积等都可通过三角形来达到深刻认识，三角形也就成了高中数学各板块知识的战场，平面向量也不例外，用平面向量解决三角形问题可以让学生深刻体会到向量在几何中的作用，用平面向量来解决三角形问题，在三角形问题中考查向量的应用，也就成了高考试题中的常客.

向量问题的解决无非三种：几何法、坐标法、基底法.而用坐标法解决向量问题首先是要建立合适的平面直角坐标系，坐标系建立的好坏决定运算的繁与简，我们最好使得几何图形的顶点都置于坐标轴上，这在一般的三角形中比较难以办到，而客观题的问题特征使得我们可以构造特殊图形来解答，我们可以构造符合条件的等腰三角形、直角三角形等特殊三角形，使得我们能更容易建立坐标系，然后通过坐标解决向量问题与几何问题.本文将就此做以探讨.

1.已知P为△ABC所在平面上的一点，且满足AP=15AC+25AB，则△APB的面积与△PAC的面积之比为.

解析本题若用常规方法，则需要根据平行四边形法则找到点P的位置，然后根据相似三角形分析出B点与C点到线段AP的距离之比，学生在解决的过程中感觉很困难.但若是构造特殊三角形：等腰直角三角形，就会简单很多.如下述解法.

解构造如图的等腰直角三角形ABC，并且令AB=5，并建立如图的平面直角坐标系，则A（0，0），B（5，0），C（0，5）.由AP=15AC+25AB可得P（2，1），而△APB的面积与△PAC的面积之比为即为P点的纵坐标与横坐标之比，即为1∶2.

2.已知P是△AOB所在平面上的一点，向量OA=a，OB=b，且P点在线段AB的垂直平分线上，OP=c，若|a|=2，|b|=1，则|c·（a-b）|=.

解析构造如右图的Rt△AOB，令|OA|=2，|OB|=1，直线l为线段AB的垂直平分线，取P点为AB的中点，并建立如图所示的平面直角坐标系，则A（2，0），B（0，1），P1，12，则c=1，12，a-b=（2，-1），故|c·（a-b）|=32.

3.在△ABC中，M是BC的中点，AM=3，BC=10，则 AB·AC=.

解析由BM=5，AM=3，联想到勾股数，令AB=4，构建如右图的三角形并建立平面直角坐标系，则A（0，0），B（4，0），M（0，3），则C（-4，6），故AB·AC=-16.

本题也可构造以BC为底边的等腰三角形ABC，然后建立平面直角坐标系，则C（5，0），B（-5，0），A（0，3），则AB=（-5，-3），AC=（5，-3），所以AB·AC=-16.

但要注意不能构造以∠A为直角的直角三角形，此时不满足直角三角形的性质：“直角三角形斜边上的中线是斜边的一半”，需提醒学生构造三角形时，所构造的三角形必须要满足题目条件.

4.已知△ABC中，角A，B，C的对边长分别为a，b，c，且满足5a2=b2+c2，BE与CF分别为边AC，AB的中线，则BE与CF夹角的余弦值为.

解析如右图所示，构造等腰三角形ABC，令a=2，b=c=10，并构建如右图所示的平面直角坐标系，则B（-1，0），

C（1，0），A（0，3），由此得到E12，32，F-12，32，所以BE=32，32，CF=-32，32，故BE·CF=0.

所以BE与CF夹角的余弦值为0.

评析：学生再用常规方法去做时找不到思路，找不到突破口，显然构造特殊三角形，将两条直线夹角问题转化为向量的夹角问题是比较简单的.但是也要提醒学生检验所构建三角形是否符合条件，在教学中笔者发现有学生构造直角三角形ABC，但这显然不满足条件.endprint