离散切换系统观测器存在性讨论及降维观测器设计

朱芳来 蔡明 郭胜辉,2

离散切换系统观测器存在性讨论及降维观测器设计

朱芳来1蔡明1郭胜辉1,2

对具有未知输入的离散切换系统讨论了未知输入观测器(Unknown input observer,UIO)设计方法.首先,对一般离散系统的未知输入观测器匹配条件的Lyapunov-type表示,进行了等价性论证;然后,基于不具有未知输入的离散切换系统的稳定性理论,对具有未知输入的离散切换系统提出了一种切换降维观测器设计方法.通过矩阵分块确定出的观测器增益矩阵,使得降维观测器能直接消去未知输入的影响;然后,在此基础上提出了一种未知输入代数重构方法;最后,通过仿真验证了方法的有效性和正确性.

离散系统,未知输入估计,观测器匹配条件,切换系统

现代控制理论中,未知输入观测器(Unknown input observer,UIO)设计具有重要意义,自上世纪60年代提出以来,一直受到学者们的广泛的关注和深入研究[1−2].对于连续受控系统,文献[3]研究了未知输入观测器匹配条件,并将该条件等价于一个Lyapunov-type矩阵代数方程.之后,在这一框架下,未知输入观测器设计得到了广泛的研究[4−10].如文献[7]在匹配条件满足的前提下,通过系统扩展并结合奇异系统设计手段,提出了一种滑模观测器设计方法,以此实现了故障和输出噪声的估计.由于未知输入观测器匹配条件较为苛刻,很多实际的控制系统并不满足,因而如何突破该匹配条件的限制,成为近期UIO设计研究热点之一[11−14],如文献[12]基于构造辅助输出的方式,提出了一种解决方案.文献[13]同样通过构造辅助输出,提出了降维观测器结合高阶滑模观测器的观测器匹配条件突破方法,并考虑了未知输入重构问题.文献[14]将未知输入分解为代数抑制未知输入和模型未知输入,以此来达到满足观测器匹配条件的目的.然而,值得强调的是,以上这些成果都是基于连续系统讨论的.随着数字系统广泛的应用,离散系统下的相关研究受到了关注[15−16].基于这样的关注,本文首先对离散系统未知输入观测器匹配条件进行了讨论,并将其转换为一个Lyapunov-type代数方程组的等价形式.

切换系统通常含有若干个子系统,同时具有一个规定子系统之间切换方式的切换律.切换系统可以描述一大类实际的系统,如脉冲宽度调制(Pulse width modulation,PWM)电路、直流斩波电路、网络控制系统和飞行器姿态等[17−25].早期针对切换系统的研究主要是考虑其稳定性,如文献[17−18]针对离散切换系统,讨论了平均驻留时间(Average dwell time,ADT)下的切换系统稳定问题,而文献[19]对切换系统的稳定性研究成果进行了更为深入的总结.针对切换系统的状态估计的研究相对较少,如文献[20]针对离散切换系统,设计了异步滤波器来处理一类具有电力电子现实背景的问题,并讨论了其稳定性.文献[21]同时针对连续系统和离散系统设计了延迟观测器,同时达到了异步切换的效果.对于具有未知输入的切换系统,文献[22]针对广义离散切换系统,设计了未知输入观测器来估计系统状态,并基于线性矩阵不等式证明了系统的稳定性.文献[23]则在未知输入匹配条件满足的前提下,基于系统强可检测性的假设,针对连续切换系统,设计了未知输入切换观测器.文献[24]在驻留时间假设下研究了切换系统的指数镇定问题,并消除了切换超调的不利影响.总之,目前针对切换系统的观测器设计的成果不多,降维未知输入切换观测器的成果还鲜有报道.

结合上述背景,本文首先对离散系统未知输入观测器的存在性进行讨论,然后将其应用于离散切换系统,设计了降维未知输入切换观测器,并提出了未知输入代数重构方法.本文的贡献在于:1)将连续系统未知输入观测器的秩条件和Lyapunov-type代数方程组两者的等价性结论,推广到了离散系统;2)基于等价性条件,给出了切换系统未知输入观测器存在性的前提条件;3)提出了一种切换降维观测器设计方法,该方法可以直接消除未知输入的影响,并提出了一种未知输入代数重构方法.论文的结构如下:第1节对问题进行了描述,对一般系统,讨论了观测器匹配条件与一个Lyapunov-type代数方程的等价性;第2节提出了降维未知输入切换系统观测器设计方法;第3节提出了未知输入代数重构;第4节给出了仿真分析;第5节对全文进行了总结.

1 问题描述

考虑一类具有未知输入的离散线性系统

其中,x(k)∈Rn,u(k)∈Rm是已知控制输入,y(k)∈Rp是可测输出,η(k)∈Rq是未知输入.系数矩阵 A ∈ Rn×n,B ∈ Rn×m,C ∈ Rp×n和D ∈Rn×p为已知常数矩阵.不失一般性,假设(A,C)可观测,B,D为列满秩,C为行满秩,并有n≥p≥q.

定义1.定义为系统(1)的Rosen-brock矩阵.当复数z0满足秩条件rank(R(z0))＜n+q时,称z0为系统(1)的不变零点.

定义2.若系统(1)的所有不变零点均在 z平面单位圆内,则称系统(1)为最小相系统.其等价描述为:对任何满足|z|≥1的z∈C,有rank(R(z))=n+q.

假设1.系统(1)是最小相系统.

假设2.rank(D)=rank(CD)=q.

注1.无论是连续系统还是离散系统,假设1和2都是未知输入观测器设计的基本前提条件.针对连续系统,文献[3]给出了一个与假设1和2等价的Lyapunov-type描述,而这样的等价描述,为未知输入观测器设计带来了极大的便利.接下来我们在引理1中将该等价描述推广到离散系统,并给出严格的证明和算法.

引理1.假设1和2成立的充分必要条件是:对于任意对称正定矩阵Q∈Rn×n,如下Lyapunov矩阵代数方程组

关于矩阵L∈Rn×p、G∈Rq×p和对称正定矩阵P∈Rn×n有解.

证明.详见附录.

2 切换降维观测器设计

本节将上述结论应用于切换系统观测器设计中,结合切换系统的稳定性理论,提出一种切换降维观测器设计方法.为此,考虑如下具有未知输入的离散切换系统

其中,x(k)∈Rn,u(k)∈Rm是已知控制输入,y(k)∈Rp是可测输出,η(k)∈Rq是未知输入. 系数矩阵Aσ(k)∈Rn×n,Bσ(k)∈Rn×m和Dσ(k)∈Rn×q为常数切换矩阵,C ∈Rp×n为已知常数矩阵.不失一般性,假设.切换信号 σ(k):N+→ ℓ={1,2,···,N},其中N 为子系统数.设采样时刻 k1,k2,···,kv,kv+1,···为切换系统(4)的切换时刻,且不妨假设当k∈[kv,kv+1),第i个子系统被激活,即假设当k∈[kv,kv+1)时,σ(k)=i.

假设3.系统(4)的任意子系统均为最小相系统,而且存在常数0＜ς＜1,对任何满足|z|≥ς的z∈C,有其中

假设 4.

定义3.对任意0≤kl≤ks,以Nσ(k)(kl,ks)表示区间[kl,ks)上的切换次数.若存在常数τa＞0使得

成立,则称常数τa为切换信号σ(k)的平均驻留时间(Average dwell time,ADT),称N0为抖振界.

引理2[17].考虑离散切换系统

若存在常数0＜α＜1,β＞1,并存在C1函数Vσ(k):Rn→ R,σ(k)∈ ℓ,和两类K∞函数 ε1和ε2使得 ∀σ(k)=i∈ ℓ,均有:

且 ∀(σ(kv)=i,σ(kv−1)=j)∈ ℓ×ℓ,i/=j,

则平均驻留时间(ADT)满足

的切换系统(5)是全局渐近稳定的.

则对应于k∈[kv,kv+1)上的第i个子系统有

引理3.假设3和4的Lyapunov-type等价描述为:存在0＜γ1＜1,使得对任意的对称正定矩阵Qi∈Rn×n,如下的矩阵方程组

关于对称正定矩阵Pi∈Rn×n和矩阵Li∈Rn×p和 Gi∈ Rq×p有解.

证明.首先,在假设3 下,由矩阵C∗=(1/ς)C和所确定的未知输入切换系统的任何第i个系统均是最小相系统.事实上,∀|z|≥1,由于|z|≥1且0＜ς＜1⇒|ςz|=ς|z|≥ς,故在假设3下有:

关于对称正定矩阵Pi∈Rn×n和矩阵Li∈Rn×p和Gi∈Rq×p有解. 如果取γ1=1− ς2,则有0＜γ1＜1,这时式(8)即为式(7"). □

其中,Ai,11∈Rp×p,Bi,11∈Rp×m,Di,11∈Rp×q,Pi,11∈ Rp×p.

对系统(4)进行线性变换θ(k)=Tσ(k)x(k),

则当系统处于第i个子系统时,一方面,由式(7)的第二式知

注意到KiDi,1+Di,2=0,因而有:

由于切换系统在切换时刻,新子系统的状态初值为前一采样时刻的状态值,即有x(kv)=x(kv−1),所以有:

于是有:在假设3和4下,由引理3知,存在常数0＜γ1＜1,使得(7)关于对称正定矩阵Pi∈Rn×n和矩阵Li∈Rn×p和Gi∈Rq×p有解.如果对对称正定矩阵Pi解作进一步的假设,则提出如下切换降维观测器设计方法:

定理2.在假设3和4下,如果还存在常数γ2＞1使得对于∀(σ(k)=i,σ(k−1)=j)∈ℓ×ℓ,i/=j,满足:

且假设系统(4)切换信号σ(k)的平均驻留时间(ADT)满足:

则系统

是系统(4)的切换降维未知输入观测器使得limk→∞(x(k)−ˆx(k))=0.

证明.定义误差方程为选取Lyapunov函数为

当系统处于第i个子系统的时刻时,即当k∈[kv,kv+1),由式(14)可得:

且λ1=mini∈‘{λmin(Pi,22)},λ2=maxi∈‘{λmax(Pi,22)},λmin(Pi,22) 表示Pi,22最小的特征值,λmax(Pi,22) 表示Pi,22(i=1,2,···,N)最大的特征值.

由式(7)第一式,利用Schur引理,取Wi=PiLi,可得:

分解上式,有:

再经初等行、列变换,可得:

故有:

由Schur补定理,可得:

也即

对于第i个子系统,式(14)即为

从式(9)和(13)中的第一式,可得:

则有:

由式(16)和(18)可得:

用式(10)减去式(13)中第二式,我们有:

对于∀(σ(kv)=i,σ(kv−1)=j)∈ℓ×ℓ,i/=j,从式(11)可得:

也即

因此有

进一步地

也即

注意到式(15)、(18)、(20)和式(12),根据引理2推知观测器误差方程(17)是渐近稳定的,这表明式(13)是式(4)的切换降维观测器. □

3 未知输入代数重构

本节对未知输入提出一种代数延迟重构方法,式(4)两边同时左乘矩阵C,有:

即

其中

定理3.在假设3和4的前提下,

是未知输入η(k)的渐近收敛延迟重构.

证明.由式(21)和(22)可得,未知输入重构误差

4 仿真

考虑离散切换系统(4)的系数矩阵为

假设输入为u(k)=5sin(2k),未知输入为η(k)=sin(50k),γ1=0.6,γ2=3.8.可以算出:

以及τ∗a=1.457.切换序列如图1所示,图2给出状态估计和未知输入重构,由图2可以看出,所提方法是正确有效的.

图1 切换序列Fig.1 Switched sequence

图2 系统状态估计和未知输入重构Fig.2 Estimated states and unknown input reconstruction

5 总结

本文对具有未知输入的离散切换系统,提出了一种能直接消去未知输入影响的切换降维观测器设计方法.为了达到设计目的,事先将文献[3]中有关连续系统观测器匹配条件的等价性条件的相关结论,推广到一般的离散系统,针对离散系统给出了类似于连续系统中观测器匹配条件的Lyapunov-type等价表示形式,并给出了严格的推导过程.然后,将所得结论应用于离散切换系统,提出了降维切换观测器设计方法,并以此讨论了切换观测器存在的前提条件.在同样的前提下,提出了一种未知输入代数重构方法.对同时具有未知输入和测量噪声的切换系统,设计切换观测器并讨论存在性,是值得进一步研讨的议题.

附录

为了证明引理1的结论,首先引入下面引理.

引理A1[3].假设2成立的充分必要条件是:存在可逆矩阵T∈Rn×n,S∈Rp×p,使得:

引理A2.对于任意对称正定矩阵Q∈Rn×n,矩阵代数方程组(3)关于L∈Rn×p,G∈Rq×p和P∈Rn×n有解的充分必要是:=TTPT,=T−1LS,=GS和=TTQT是如下的代数矩阵方程

的解.

证明.直接验证即可得知.引理1的证明:(必要性:假设1和2成立⇒式(3)有解).定义

可知

其中,ς＞0是任意的正常数,为任意矩阵,显然,是对称正定矩阵.在假设1和2的前提下,由引理4可知,可检测,因此,存在矩阵使得如下Lyapunov代数方程

充分性:式(3)有解⇒假设1和2成立).由于P∈Rn×n为对称正定矩阵,故矩阵D和DTPD有相同的零空间,即rank¡DTPD¢=rank(D),由DTP=GC,得DTPD=GCD,即

因此有rank(D)≤rank(CD)≤rank(D),即有rank(CD)=rank(D),也即假设2成立.

在假设2成立的前提下,由引理A1可知,存在可逆矩阵T∈Rn×n,S∈Rp×p,使得(3)成立.对于引理A2中定义的矩阵进行如下的分块

其中,由引理A2可知,式(3)有解意味着式(A1)有解,对式(A1)按分块展开

其中

也即有

即

1 Wang S H,Wang E,Dorato P.Observing the states of systems with unmeasurable disturbance.IEEE Transactions on Automatic Control,1975,20(5):716−717

2 Bhattacharyya S.Observer design for linear systems with unknown inputs.IEEE Transactions on Automatic Control,1978,23(3):483−484

3 Corless M,Tu J.State and input estimation for a class of uncertain systems.Automatica,1998,34(6):757−764

4 Charandabi B A,Marquez H J.A novel approach to unknown input fi lter design for discrete-time linear systems.Automatica,2014,50(11):2835−2839

5 Yang Jun-Qi,Chen Yan-Tao,Zhu Fang-Lai,Bu Xu-Hui.State and unknown input estimations for uncertain switched linear systems.Control and Decision,2015,30(12):2247−2252(杨俊起,陈滟涛,朱芳来,卜旭辉.不确定切换线性系统状态和未知输入估计方法.控制与决策,2015,30(12):2247−2252)

6 Guo S H,Zhu F L,Xu L Y.Unknown input observer design for Takagi-Sugeno fuzzy stochastic system.International Journal of Control,Automation and Systems,2015,13(4):1003−1009

7 Yang J Q,Zhu F L,Yu K J,Bu X H.Observer-based state estimation and unknown input reconstruction for nonlinear complex dynamical systems.Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation,2015,20(3):927−939

8 Chadli M,Karimi H R.Robust observer design for unknown inputs Takagi-Sugeno models.IEEE Transactions on Fuzzy Systems,2013,21(1):158−164

9 Lee D J,Park Y,Park Y S.RobustH∞sliding mode descriptor observer for fault and output disturbance estimation of uncertain systems.IEEE Transactions on Automatic Control,2012,57(11):2928−2934

10 Gupta M K,Tomar N K,Bhaumik S.Full-and reducedorder observer design for rectangular descriptor systems with unknown inputs.Journal of the Franklin Institute,2015,352(3):1250−1264

11 Kalsi K,Lian J M,Hui S,˙Zak S H.Sliding-mode observers for systems with unknown inputs:a high-gain approach.Automaitca,2010,46(2):347−353

12 Floquet T,Edwards C,Spurgeon S K.On sliding mode observers for systems with unknown inputs.International Journal of Adaptive Control and Signal Processing,2007,21(8−9):638−656

13 Zhu F L.State estimation and unknown input reconstruction via both reduced-order and high-order sliding mode observers.Journal of Process Control,2012,22(1):296−302

14 Park T G.Designing fault detection observers for linear systems with mismatched unknown inputs.Journal of Process Control,2013,23(8):1185−1196

15 Floquet T,Barbot J P.State and unknown input estimation for linear discrete-time systems.Automatica,2006,42(11):1883−1889

16 Guo S H,Zhu F L.Reduced-Order observer design for discrete-time descriptor systems with unknown inputs:an linear matrix inequality approach.Journal of Dynamic Systems,Measurement,and Control,2015,137(8):Article No.084503

17 Zhang L.and Shi P.l2-l∞model reduction for switched LPV systems with average dwell time.IEEE Transactions on Automatic Control,2008,53(10):2443−2448

18 Zhang L X,Shi P.Stability,l2-gain and asynchronousH∞control of discrete-time switched systems with average dwell time.IEEE Transactions on Automatic Control,2009,54(9):2192−2199

19 Lin H,Antsaklis P J.Stability and stabilizability of switched linear systems:a survey of recent results.IEEE Transactions on Automatic Control,2009,54(2):308−322

20 Zhang L X,Cui N G,Liu M,Zhao Y.Asynchronous fi ltering of discrete-time switched linear systems with average dwell time.IEEE Transactions on Circuits and Systems I:Regular Papers,2011,58(5):1109−1118

21 Zhao X D,Liu H,Zhang J F,Li H Y.Multiple-mode observer design for a class of switched linear systems.IEEE Transactions on Automation Science and Engineering,2015,12(1):272−280

22 Koenig D,Marx B,Jacquet D.Unknown input observers for switched nonlinear discrete time descriptor systems.IEEE Transactions on Automatic Control,2008,53(1):373−379

23 Bejarano F J,Pisano A.Switched observers for switched linear systems with unknown inputs.IEEE Transactions on Automatic Control,2011,56(3):681−686

24 Wang Xing-Ping.Exponential stabilization of switched time-varying linear systems.Acta Automatica Sinica,2016,42(9):1440−1444(王兴平.时变线性切换系统的指数镇定.自动化学报,2016,42(9):1440−1444)

25 Wang Xing-Ping,Song Yan-Rong,Cheng Zhao-Lin.Exponential synchronization of time-varying linear multi-agent systems with switching topology.Acta Automatica Sinica,2015,41(8):1528−1532(王兴平,宋艳荣,程兆林.切换网络下时变线性多智能体系统的指数同步.自动化学报,2015,41(8):1528−1532)

Discussions on Existence of Observers and Reduced-order Observer Design for Discrete-time Switched Systems

ZHU Fang-Lai1CAI Ming1GUO Sheng-Hui1,2

The paper discusses the unknown input observer(UIO)design issue for discrete-time switched systems with unknown inputs.First,a Lyapunov-type equivalent representation of observer matching condition for a general discretetime system is given and proved.Then,based on the stability theory of discrete-time switched system without unknown inputs,a reduced-order observer is developed for a discrete-time switched system with unknown inputs.The reducedorder observer can eliminate the in fl uences of the unknown inputs directly because of the special selection of the observer gain matrix determined by matrix block computation.Meanwhile,an algebraic unknown input reconstruction method is proposed.Finally,a simulation example is given to verify the correctness and eあectiveness of the proposed methods.

Discrete-time system,unknown input estimation,observer matching condition,switched system

Zhu Fang-Lai,Cai Ming,Guo Sheng-Hui.Discussions on existences of observers and reduced-order observer design for discrete-time switched systems.Acta Automatica Sinica,2017,43(12):2091−2099

2016-06-16 录用日期2016-11-23

June 16,2016;accepted November 23,2016

国家自然科学基金(61573256),上海市科委“创新行动计划”项目(16111106502),浙江省高端创新载体专项项目浙江省高端创新载体专项项目资助

Supported by National Natural Science Foundation of China(61573256),Shanghai Science and Technology Innovation Fund(16111106502),Zhejiang Province High-end Innovative Carrier Project

本文责任编委孙希明

Recommended by Associate Editor SUN Xi-Ming

1.同济大学电子与信息工程学院 上海201804 2.苏州科技大学电子与信息工程学院苏州215009

1.College of Electronics and Information Engineering,Tongji University,Shanghai 201804 2.College of Electrical Engineering and Automation,Suzhou University of Science and Technology,Suzhou 215009

朱芳来,蔡明,郭胜辉.离散切换系统观测器存在性讨论及降维观测器设计.自动化学报,2017,43(12):2091−2099

DOI10.16383/j.aas.2017.c160471

朱芳来 同济大学电子与信息工程学院教授.主要研究方向为非线性系统鲁棒控制,观测器设计,基于模型的故障检测与隔离.本文通信作者.

E-mail:zhufanglai@tongji.edu.cn

(ZHU Fang-Lai Professor at the College of Electronics and Information Engineering,Tongji University.His research interest covers nonlinear robust control,modelbased fault detection and isolation.Corresponding author of this paper.)

蔡 明 同济大学控制理论与控制工程专业硕士研究生.主要研究方向为基于模型的故障检测与隔离.

E-mail:basycai@163.com

(CAI Ming Master sutdent at the College of Electronics and Information Engineering,Tongji University.His research interest covers model-based fault detection and isolation.)

郭胜辉 苏州科技大学电子与信息工程学院讲师,博士.主要研究方向为基于模型的故障检测及观测器设计.

E-mail:12gsh@tongji.edu.cn

(GUO Sheng-Hui Ph.D,lecturer at the College of Electronics and Information Engineering,Suzhou University of Science and Technology.His research interest covers model-based fault detection and observer design.)