基于分形理论的锈蚀钢筋表面轮廓分布特征

（江苏大学土木工程与力学学院，江苏镇江212013）

基于分形理论的锈蚀钢筋表面轮廓分布特征

陆春华，杨金木，延永东，傅巧瑛

（江苏大学土木工程与力学学院，江苏镇江212013）

为了更准确地表征锈蚀钢筋的表面轮廓分布特征，利用分形理论的结构函数法推导出锈蚀钢筋截面直径的分形维数与尺度系数的计算模型.从受氯盐侵蚀的混凝土梁试件中获取4根不同锈蚀率的钢筋试样，利用千分尺测量钢筋的截面直径，并进行统计，研究其分布规律.统计结果表明：锈蚀钢筋截面直径不拒绝正态分布、对数正态分布和威布尔分布；利用所得模型计算出锈蚀钢筋截面直径的分形维数与尺度系数，其分形维数与钢筋的锈蚀率成正相关关系.结合分形维数和尺度系数定义的特征参数，可以实现锈蚀钢筋表面轮廓绝对测量与相似测量的统一，有助于更为准确地表征锈蚀钢筋的表面轮廓.

锈蚀钢筋；分布特征；分形理论；结构函数法；特征参数

钢筋锈蚀是混凝土结构耐久性能退化的主要原因，很多学者采用钢筋锈蚀率进行锈蚀钢筋力学性能的退化研究［1－4］.但是钢筋锈蚀率是一个平均化的概念，不能反映锈蚀钢筋表面的不均匀分布状态和程度［5］.实际上，由于混凝土自身材料的不均匀性、所处环境的变异性及受力部位的不均匀性，锈蚀钢筋表面轮廓是复杂且不稳定的，沿钢筋长度方向锈蚀会有一定的变化［6］.文献［1，7］研究发现，锈蚀钢筋力学性能受到坑蚀深度和分布影响，且坑蚀附近产生的应力集中随着坑蚀深度增加更加明显.相同锈蚀率的钢筋，其力学性能表现也有一定差异［8］.

近年来，分形理论的发展为人们解决研究对象表面轮廓不均匀性问题带来新思路.文献［9］利用盒计数法计算锈蚀前后P11钢管表面的分形维数，对比发现分形维数能够快速准确地实现钢材耐腐蚀性评价.文献［10］利用分形理论表征了金属复合材料在几何扭曲方面的特点.文献［11］对钢材受冲击破坏截面进行研究后发现，截面分形维数与材料的冲击韧性成正相关关系.文献［12］探讨了考虑摩擦因素的球体交接面法向接触刚度的分形计算模型，结果表明分形维数决定法向接触刚度与法向荷载成正比还是反比关系.

鉴于分形理论的上述特点，本研究以受氯盐侵蚀的锈蚀钢筋为研究对象，用结构函数法计算其截面直径的分形维数，讨论其分形特征；结合分形维数与尺度系数，推导出锈蚀钢筋截面直径的特征参数，以便能更为准确地描述锈蚀钢筋表面轮廓的分布特征.

1 分形维数的计算模型

锈蚀钢筋的粗糙表面是由扫描长度到原子长度的无数个空间频率组成，如果表面被重复放大，可以观察到粗糙表面不断出现的细微结构.因此粗糙表面尽管有连续的轮廓，却是处处不可微的，而且具有自仿射性.粗糙表面轮廓的这种多尺度性和自仿射性使其难以建立数学模型［13］.

分形几何的出现给上述粗糙表面轮廓的描述奠定了数学基础，其中Weierstrass Mandelbrot分形函数（W M函数）满足连续性、处处不可微性和自仿射性，可用来表征和模拟粗糙表面的轮廓［14］.图1为分形函数（W M函数）表征的锈蚀钢筋表面轮廓示意图.

图1 分形函数表征的锈蚀钢筋的表面轮廓

图1中，将钢筋表面轮廓表示成函数Z（x），其表达式［15］为

式中：D为分形维数；G为特征尺度系数；γ为大于1的常数；γn为轮廓的空间频率，当n＝n1时，γn1＝1／l（l为取样长度）.

由式（1）可知，Z（x）级数收敛，而dZ／dx发散，这意味着函数在任意点均不可微，同时满足自放射关系：

定义Z（x）的增量方差S（τ）为结构函数，即

由W M分形函数的自相关函数R（τ），即

经过傅立叶变换得到

将式（6）代入式（3），积分得到

式中Γ（x）为Gamma函数.

式中C为尺度系数，反应轮廓的不平整度.

对式（8）两边取对数，针对若干尺度τ对轮廓曲线的离散信号计算出相应的S（τ）.在双对数坐标ln S（τ）－lnτ中进行拟合，得到一条近似的直线，拟合直线的斜率为α，截距为A，最后换算得到表面轮廓曲线的分形维数D和尺度系数C.其中，分形维数D与斜率α的转换关系为

2 试 验

2.1 试验梁设计

试验中采用的混凝土梁尺寸为b×h×L＝150 mm×100 mm×1 500 mm.混凝土设计强度为C30，水泥采用42.5普通硅酸盐水泥，粗骨料采用粒径为5～25 mm的碎石，细骨料采用细度模数为1.62的江砂，混凝土配合比详情如表1所示.

表1 混凝土配合比详情

混凝土纵向钢筋采用直径16 mm的HRB335钢筋，每根梁放置2根钢筋，单根长度1 600 mm.保护层厚度分别为20 mm和40 mm.图2为试验梁设计图.实际工程中的混凝土结构由于受到荷载作用通常处于带裂缝工作状态，为了真实模拟实际工程中的混凝土结构受荷载作用的工作状态，在浇铸构件时，参考实际工程中受弯构件常见的裂缝参数，用金属薄片在梁构件表面预制不同宽度、深度和间距的预裂缝（见图2）.混凝土梁浇筑后自然养护28 d，并测得立方体抗压强度为32.1 MPa.

图2 试验梁设计图（单位：mm）

2.2 试验方法

图3为钢筋的锈蚀部位分布情况.为了更加真实地反应自然环境下混凝土试件内部钢筋的锈蚀形态，将试件置于质量分数为5%的NaCl溶液池中，采用干湿比为1∶1的循环试验法进行加速锈蚀，单个循环周期为14 d，共历时1 400 d.干湿循环试验结束后，将混凝土试件取出，置于室外环境，干燥7 d，随后对试件破型，取出锈蚀钢筋.然后对其锈蚀部位进行外观检测和统计记录（见图3）.从图3中可以看出，钢筋沿长度方向的锈蚀形态呈现不均匀性，越靠近保护层一侧锈蚀程度越严重.

图3 钢筋的锈蚀部位分布情况

考虑到锈坑分布位置和试验数据多样化，对已取出钢筋进行合理截取，所有钢筋试件长度为500 mm，共计4根.将钢筋试件置于质量分数为5%的稀盐酸中1～25 min进行清洗，经清水漂清后，用无水乙醇清理钢筋表面残余污渍，擦干后在电烤箱中进行烘干处理.然后称取钢筋除锈后质量m，由于锈蚀钢筋试样长度l为500 mm，则锈蚀钢筋的平均线密度为

式中：ρc为锈蚀钢筋的平均线密度，g·cm－1；m为钢筋除锈后质量，g.

设未锈蚀前钢筋的平均线密度为ρ0，则锈蚀钢筋的截面平均锈蚀率ηavg为

经计算，各试件的详情参数如表2所示.采用双尖头千分尺沿着锈蚀钢筋试件长度，每隔10mm测量钢筋的直径，获取500 mm采样长度内钢筋截面直径分布数据，用于分析锈蚀钢筋截面直径的分形特征.

表2 各试件的详情参数

3 锈蚀钢筋截面直径的特征

3.1 截面直径的分布特征

对前述4组锈蚀钢筋试件的截面直径进行频数统计，结果如图4所示.由图4可知，锈蚀钢筋截面直径总体呈非对称的偏态分布.

利用Matlab软件中提供的Kstest检验函数，对数据进行正态分布、对数正态分布和威布尔分布假设检验［16］.

表3为不同假设（正态分布、对数正态分布和威布尔分布假设）检验的K S检验计算结果.

图4 不同截面直径锈蚀钢筋的频数分布图

表3 不同假设检验的K S检验结果

从表3可以看出，不论选定较小的显著性水平α＝0.01还是选定较大的显著性水平α＝0.05，1＃，2＃，3＃和4＃试件均不拒绝正态分布、对数正态分布和威布尔分布.由此可见，在氯盐侵蚀环境下，混凝土内锈蚀钢筋的截面直径分布规律较为复杂，这是钢筋锈蚀的随机性和不均匀性导致的.

3.2 截面直径的分形特征

通过式（3）的离散化结构函数表达式，利用采集到的锈蚀钢筋截面直径数据计算截面直径的分形维数.具体方法如下所示.

如果数据采样点间隔为Δl，在采样长度l上共采集N个点，则有

令式（3）中τ＝nΔl，n＝0，1，2，…，N－1，则离散化结构函数表达式为

通过Matlab语言实现结构函数法的数值求解模型，并计算S（τ），在双对数坐标lnS（τ）－lnτ中整理数据，根据回归直线斜率α与分形维数D的关系得到分形维数的值.对4根锈蚀钢筋试件的截面直径数据进行处理计算.钢筋试件拟合结果如图5所示.

由式（8）及图5可知，lnC为双对数坐标lnS（τ）－lnτ中直线的截距值.在此双对数坐标系下，大部分散点形成了明显的线性发展趋势.根据式（9），由图5中4条趋势线的斜率可以计算出4根锈蚀钢筋截面直径的分形维数分别如下：D1＝1.915，D2＝1.930，D3＝1.935，D4＝1.915.

考察分形维数与锈蚀率的关系可知，锈蚀钢筋截面直径的分形维数随着钢筋平均截面锈蚀率的增大而增大.理想状况下的均匀锈蚀指在任何位置的锈蚀深度相同，所有的坑蚀点形成了坑蚀面，面的维数是2，所以D＝2；理想状况下的不均匀锈蚀指在任何位置的锈蚀深度都不同，所有的坑蚀点之间形成相对独立的线，线的维数是1，所以D＝1［7］.

在钢筋锈蚀初期，新坑蚀的出现与老坑蚀的发展同步进行，新老坑蚀的深度相差较大，钢筋锈蚀的不均匀性较大，分形维数D较小；随着锈蚀的进行，新坑蚀的出现速度减缓，锈蚀主要以老坑蚀的发展为主，锈蚀速度加快，体现为老坑蚀的锈蚀深度逐渐趋于一致，此时钢筋锈蚀的不均匀性减小，分形维数D增加.因此，锈蚀钢筋截面直径的分形维数与钢筋的锈蚀率成正相关关系.

由图5可知，1＃与4＃的直线斜率相同，但截距不同，说明锈蚀钢筋截面直径的分形维数与钢筋表面粗糙程度不是唯一对应关系.分形维数D反映的是锈蚀钢筋表面轮廓曲线的不规则性，属于测度的相似性参数，对钢筋表面轮廓粗糙程度变化具有很高的灵敏性；尺度系数C反映的是单位尺度下锈蚀钢筋表面轮廓测度的绝对参数，对表征锈蚀钢筋表面轮廓变化具有很高的灵敏性［17］.

图5 不同截面直径锈蚀钢筋试件的拟合结果

3.3 特征参数

结合分形维数D与尺度系数C，定义特征轮廓参数θ为当锈蚀钢筋截面直径的增量方差为单位测度时的测量尺度.根据定义，令S（τ）＝1，则θ的表达式为

由于θ值非常小，为了更好地用θ值表征锈蚀钢筋表面轮廓分布特征，令

式（15）中，参数M将分形维数D与尺度系数C结合起来，既能体现锈蚀钢筋表面轮廓的相似性，又能体现出其变化的绝对性.当C∈（0，＋∞）确定时，M随D∈（1，2）的增加单调递增；当D确定时，M随C的增加单调递增，所以M可以确定地表征出锈蚀钢筋表面轮廓的分布特征.计算试验样本M值，结果见表4.

表4 锈蚀钢筋特征参数

由表4可知，随着分形维数和尺度系数的变化，M值变化非常明显.由于M结合了分形维数D与尺度系数C的特点，所以比单独利用D或者C描述钢筋表面轮廓特征更为准确，实现了锈蚀钢筋表面轮廓绝对测量与相似测量的统一.

4 结 论

1）氯盐环境中，锈蚀钢筋截面直径的分布特征比较复杂，当选定的显著水平不大于0.06时，不拒绝正态分布、对数正态分布和威布尔分布.钢筋截面直径分布的复杂性主要是钢筋锈蚀不均匀导致的.

2）通过结构函数法求解得到4根锈蚀钢筋样本截面直径的分形维数，结果表明，锈蚀钢筋截面直径的分形维数D与钢筋的锈蚀率成正相关关系.

3）分形维数D反映的是锈蚀钢筋表面轮廓曲线的不规则性，尺度系数C反映的是单位尺度下锈蚀钢筋表面轮廓测度的绝对参数，都不能作为单一表征钢筋锈蚀特征的理想参数.M结合了分形维数D与尺度系数C的特点，所以比单独利用D或者C描述钢筋表面轮廓特征更为准确，实现了锈蚀钢筋表面轮廓绝对测量与相似测量的统一.

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Surface profile distribution characteristics of corroded steel bars based on fractal theory

LU Chunhua，YANG Jinmu，YAN Yongdong，FU Qiaoying
（Faculty of Civil Engineering and Mechanics，Jiangsu University，Zhenjiang，Jiangsu 212013，China）

To precisely characterize the surface profile of corroded steel bars，a calculating model of fractal dimension and scale coefficient for the cross sectional diameter of corroded steel bars was derived based on structure functionmethod.Four steel specimenswith different corrosion rateswere obtained from concrete beams eroded by chloride salt.Utilizingmicrometer tomeasure the cross sectional diameter，the distribution characteristicswere analyzed.The results show that the diameter of corroded steel bar does not reject normal distribution，lognormal distribution and Weibull distribution.The fractal dimension and the scale coefficient are calculated by derived calculating model，and the fractal dimension of cross sectional diameter is positively correlated with rebar corrosion rate.Combining with fractal dimension and scale coefficient，the unified relationship between absolute measurement and similar measurement of surface profile of corroded steel bars can be realized by the characteristic parameter of corroded steel bars，which helps to characterize the surface profile of corroded steel barsmore precisely.

corroded steel bars；distribution characteristic；fractal theory；structure function method；characteristic parameter

10.3969／j.issn.1671－7775.2018.01.017

TU511.32

A

1671－7775（2018）01－0102－06

2016－09－28

国家自然科学基金资助项目（51378241，51578267）；江苏省“六大人才高峰”高层次人才选拔培养资助项目（2015－JZ－008）

陆春华（1979—），男，江苏昆山人，博士，副教授（lch79＠ujs.edu.cn），主要从事混凝土结构耐久性的研究.

杨金木（1992—），男，安徽马鞍山人，硕士研究生（trlife＠yeah.net），主要从事混凝土结构耐久性的研究.

陆春华，杨金木，延永东，等.基于分形理论的锈蚀钢筋表面轮廓分布特征［J］.江苏大学学报（自然科学版），2018，39（1）：102－107.

（责任编辑 赵 鸥）