巧用方法提高解决数列的运算能力

摘 要：研究近年数学高考数列选择填空题的解题方法，对考生及老师都有着重要的意义。通过方法的分类，针对不同方法在数学高考不同题目的应用程度及其位置进行研究，指导高中生备战高考数列题的复习。

关键词：数列；解题方法；运算能力

数列内容包括：①等差等比数列的基本概念，②等差、等比数列的性质及其应用，③数列的通项、求和及其应用。要解答好高考数列题目，必须扎实牢固地掌握数列的基础知识及其应用，熟练掌握数列及极限常见题型的解法与技巧，并能将其灵活运用。

一、 利用等差、等比数列的基础知识解答

主要考查等差数列的概念以及其求和公式，掌握好等差数列的概念及其求和公式，利用一般的方法即可解答。

例 已知等差数列{an}中，a2=17，a4=17，则前10项和s10=（ ）

A. 100

B. 210

C. 245

D. 285

解析：题目已知条件中，数列是等差数列，充分利用等差数列的概念，并且题目中已知a2=7，a4=17，利用数列递推公式an=am+（n-m）d，n>m，从而a4=a2+（4-2）d，代入得：d=5，a1=2，所以a10=47，从而s10=10×（a1+a10）2=245。

点评：本题主要考查等差数列的通项公式及其求和，题目给了任意两项，通过通项公式建立方程组，从而求出首项和公差，进而用求和公式求解。

二、 巧用等差、等比数列的知识解答

根据题目的条件，灵活运用题目给的已知条件进行解答。

例1 已知等差数列{an}满足a2+a4=4，a3+a5=10，则它的前9项的和s9=（ ）

A. 138

B. 95

C. 72

D. 63

解析：数列是等差数列，由a2+a4=4①a3+a5=10②①式中a2+d=a3，a4+d=a5，因此，①+2d=②，即4+2d=10，d=3，而a4=a2+2d，从而代回①式，a2+a2+2d=4，

a2=-1，a1=-4，因此s9=a1n+n（n-1）2d=72。

点评：题目已知的是两个等式，式中均是两数列中的两项，两个方程两个未知数肯定求不出来，所以，需要将其中的一项利用通项公式用另外的项表示出来。

例2 设Sn是等差数列{an}的前n项和，若S3S6=13则S6S12=（ ）

A. 310

B. 13

C. 18

D. 19

解析：等差数列，S3S6=3a1+3d6a1+15d=13，因此a1=2d，同理S6S12=6a1+15d12a1+66d=310。

点评：题目已知的是数列和的第一个比值的关系，要求得是比值的关系，因此像这类题目我们需要的是化简已知和所要求得的比值关系，得出最简的等式，一般二者会存在直接的代数关系，从而求解了这道题。

例3 设所以Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2+a5=0，则S5S2=（ ）

A. 11

B. 5

C. -8

D. -11

解析：8a2+a5=8a1q+a1q4=0，左右两边同除以a1q得8+q3=0，q=-2。所以S5S2=1-q51-q2=-11。

点评：此两题充分利用题目进行化简求解，虽不能直接求出未知量，但经过化简后均可消去，从而直接得出结果，在高考中这类的题目也不乏出现。

三、 巧用等差、等比数列的两个常用性质解题

在等差数列中，ap为am，an的等差中项，则2ap=am+an，且若p+q=m+n，

则ap+aq=an；ap为am，an的等比中质，则a2p=aman，且若p+q=m+n，

则apaq=aman。巧用这两个重要性质，解答题目更简单。

例 已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则a4a5a6=（ ）

A. 52

B. 7

C. 6

D. 42

解析：{an}是公比为正数的等比数列，利用等比数列中p+q=m+n，

则apaq=aman；a1a2a3=（a1a3）a2=（a22）a2=a32=5；a7a8a9=（a7a9）a8=（a28）a8=a38=10，

从而a32a38=（a2a8）3=（a5a5）3=（a25）3=（a53）2=5×10=50，a4a5a6=52。

点评：本题均为等比数列，题目给的两个等式含有三项，并且其中的两项积利用数列的性质可以用第三项来表示，从而求出中间的项，恰好所要求的也可以用所求出的这两项表示，进而得到解答。

四、 结合函数、解析几何等知识进行求解

例 设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，满足S5S6+15=0，则d的取值范围是 。

解析：等差数列，S5=5a1+10d，同理S6=6a1+15d，则S5S6+15=（5a1+10d）（6a1+15d）+15=15（2a12+9a1d+10d2）+15=0，整理得2a12+9da1+10d2+1=0，是一個关于a1的一元二次方程，说明此方程有数解，从而Δ=（9d）2-4×2×（10d2+1）=d2-8≥0，即d2≥8，即d≥22或d≤-22。

数列知识主要考查概念、性质通项、求和，利用题目已知条件，通过变换，便可求解。通过数学高考数列题中的基本方法与技巧，可以较大提高自己的运算能力，省时高效。虽然其题型复杂多变，但是万变不离其宗，只要掌握好其题型特点及相应的解题方法，善于归纳总结，找出共性，以不变应万变。

作者简介：

韦月明，广西壮族自治区南宁市，南宁市第四十二中学。endprint