数学老师和他的学生

辽宁抚顺市四方高级中学(113122) 孟庆杰

数学老师和他的学生

辽宁抚顺市四方高级中学(113122) 孟庆杰

一、数学老师教会学生的方案

1.学生眼中的数学老师

学生眼中的数学老师非常“伟大”,因为好像他什么都会.讲课时常说:这个问题很容易,因为…,所以…就解决了.有时我们还没弄清题设和结论,老师就解答完了(其实老师有多年经验,这个问题可能讲过多次,而且课前已经备过,再有老师常用综合法…).上课提问时常说:提问一个简单的问题或提问一个你能会的问题.有时老师提问的我们很多都不会,甚至不知道老师问什么(其实这个问题可能是老师备课时设计好的非常熟悉).我们问老师问题时,老师常说:这个题都不会?这个题不是我刚讲过吗?我们问就是不会,老师讲过的题有许多我们都不会(其实老师不了解你们).考数学时,我们要是数学老师就好了(其实老师不比你们聪明,只是老师对数学概念公式等理解深刻,数学题比你们做得多).总之,对待数学问题老师的眼神好像是小学算数1+2,而我们好像是数学家陈景润研究的1+2.

2.数学老师眼中的学生

数学老师眼中的学生好像很“渺小”,因为好像他们什么都不会.讲课时感到:这个定义讲了多遍他们还是不理解…(其实这个定义老师讲过多年,而学生是一张白纸).上课提问时:怎么启发他们都不会…(其实问题是老师备课时设计好的,而学生无准备或前面的没听懂后面的也不会).学生问的问题:就是公式的直接应用或简单变形应用,他们都不会…(其实老师对公式的正用、逆用和变形用非常熟悉,而学生刚学公式,有时对公式中字母的含义都不清楚).每个数学老师都希望他的学生:一讲就会,一问就答会,一算就对,一考就满分…,要想达到这种效果,老师必须了解学生的认知水平,不断的研究探索适合学生学习数学的教学法.

3.数学老师教会学生的方案

(1)备课

①备基础再现,即找出本节涉及到的学过的基础知识或可能影响新知识学习的学过的知识.

②考虑学生的认知水平,把课备到熟时似生的境界.

大数学家希尔伯特的老师富克斯,在课堂上现想现推,常把自己置于危险的境地,然后再走出来,这使他的学生“得到一个机会,瞧一瞧最高超的数学思维的实际过程”.如果数学老师能考虑学生的认知水平,适当的有准备的学生看不出来的设计一条或两条错路(或学生可能走错的路),然后再走回正路(有可能是学生发现了错路让你走回来,这是最好的,达到了预期效果.),把思考问题的全过程展现给学生看,那么你的学生不仅学会解题,更重要的是学会分析和思考问题的方法.因此备课不在于把教材背熟,而在于设法让学生看到数学思维的全过程.备课很熟(老师教起来容易,学生听起来高高在上,与学生的认知水平衔接不上)不是最好目标,备课备到熟时似生才是最高境界.这个“生”是“熟”的基础上的“生”,即对所教内容好像第一次接触一样有新奇感(这可以感染学生)、有一个从未知到已知的过程(这是学生需要的)、有一种逐步获取知识的体验(这与学生认知水平接近,学生容易学到知识).

③精选渐近反复试题,试题以教材为主课外为辅.

“反复”就是学过定义解题,会解题后总结由定义能解决什么问题,这是第一次反复(一般是定义的直接应用,学生模仿老师可以解决).总结好解题方法后再做题,会做题后再总结由定义能解决什么问题,这是第二次反复(一般是定义的逆用和变形用,课堂上让学生研讨交流可以完成).每一次反复都是螺旋式提高,所以叫“渐近”.第三次反复是课后作业,用课堂总结的方法,独立完成老师精选的试题;完成作业后必须总结由定义能解决什么问题,或什么问题可以用定义解决,将总结的方法写在作业本上一起上交,老师将选择较好的方法在班级固定位置展示(这是定义正用、逆用和变形用的综合).一节课完成了两个反复,加上作业完成三个反复(这是数学初级),这足可以学会本节知识.而数学老师已经达到了四个反复(定义深层次的内涵及综合,这是数学中级)或五个反复(定义的外延及综合,这是数学高级)或更多的反复.

④考虑一下讲课或提问时的语气、语调及学生爱听或听起来舒服的数学语言.

(2)基础再现

法国生物学家贝尔纳说过:妨碍学习的最大障碍,并不是未知的东西,而是已知的东西.基础再现的目的就是扫清学习新知识的障碍.把本节涉及到的学过的知识,以试题的形式在上课的前一天发给学生,要求必须完成,这不仅能扫清学习障碍,还能让学生学会学习方法.

(3)上课

①讲课时老师多用分析法,少用综合法.适当的按设计好的走一条或两条错路,再走回来,让学生看到数学思维的全过程.

②讲完定义,老师按定义做题,然后学生模仿开始渐近反复训练.

③老师讲课提问注意教学语言.

(4)课后作业即第三次反复.

二、具体实施教会学生的方案

以高中数学人教B版数学选修2-1“2.2.1椭圆的标准方程”为例,具体说明教会学生的方案.

1.备课

除常规备课外,重点放在(1)找出椭圆一节的基础再现;(2)精心设计两条错路,让学生看到数学思维的过程.有准备的走错路和不知路线走错路,在感觉、语言、表情等方面是有很大区别的.如果让学生看不出来,好像就是第一次接触,那就是教学艺术;(3)备好渐近反复试题;(4)想好教学语言.

2.基础再现

这些问题你还会吗?老师相信你能完成下列问题:

(1)求动点M的轨迹方程的一般步骤是____;

(2)已知点A(a,−b)和B(x,y),则|AB|=____;

(6)你还记得待定系数法吗?请用你自己的语言叙述___.

3.上课

推导完椭圆标准方程后,进行第一次反复训练.老师示范解如下问题:

例1.求适合下列条件的椭圆的标准方程:

例2.求下列方程表示的椭圆的焦点坐标:

学生模仿解如下问题:

(1)求适合下列条件的椭圆的标准方程:

①焦点坐标为(−5,0)和(5,0),椭圆上一点与两焦点的距离的和是26;

(2)求下列方程表示的椭圆的焦点坐标:

做完上述试题后,学生按下列提纲总结并且写在笔记本上:

(1)什么条件下可以求得椭圆的标准方程(包括坐标系);

(2)如何判断椭圆的焦点在哪个轴上;

(3)已知椭圆标准方程你能知道什么?给学生机会展示总结成果,经过研讨、补充得到较完整的解题方法及经验.

再给出如下问题,让学生思考、讨论、交流等解决,进行第二次反复训练.

(1)已知椭圆方程2x2+4y2=t(t＞0),求椭圆的焦点坐标及椭圆标准方程中的a、b、c;

(2)设M是椭圆9x2+25y2=225上一点,F1,F2是椭圆的焦点.如果点M与焦点F1的距离为4,则点M与焦点F2的距离是___;

(3)已知椭圆的一个焦点为F1(0,−3),作一个三角形,使它的一个顶点为焦点F1,另两个顶点D、E在椭圆上且边DE过焦点F2.如果三角形的周长是16,求椭圆的标准方程;

(4)已知B、C是两个定点,|BC|=8,且△ABC的周长等于18,试判断三角形顶点A的轨迹,若轨迹是椭圆,求出椭圆的标准方程.

探讨解决上述试题后,学生按下列提纲总结并且写在笔记本上:

(1)已知椭圆标准方程你能解决什么问题?

(2)求椭圆标准方程需要几个独立的条件?你能举几个实例吗?

(3)什么条件下动点的轨迹可能是椭圆?

(4)举例说明椭圆定义的作用.给学生机会展示总结成果,经过研讨、补充得到较完整的解题方法及经验.

4.课后作业即第三次反复

(1)判断方程Ax2+By2=1(A,B≠0)所表示的曲线;

(3)已知椭圆的两个焦点分别为F1(−1,0)和F2(1,0),点A是椭圆上一点且AF2⊥F1F2.若线段AF1的中点到原点的距离为1,求椭圆的标准方程.

(4)设圆(x+1)2+y2=25的圆心为C,点A(1,0)是圆内一定点,Q为圆周上任意一点,AQ的垂直平分线与CQ的连线的交点为M,求点M的轨迹方程.

完成作业后,按下列提纲总结并且写在作业本上一起上交:

(1)已知椭圆标准方程你都能知道什么?(至少写出四个)

(2)什么条件下你能求出椭圆标准方程?(至少写出四个)

(3)利用椭圆定义你能解决什么问题?(至少写出三个)

总之,若按上述方案教学,数学老师和他的学生的矛盾就可以解决.解决了矛盾就是学生学会了数学,学会了数学就是学生能像老师那样“什么都会”或超过老师.