多元函数最值问题求解策略续

☉湖北省武汉市第二中学 朱九如

多元函数最值问题求解策略续

☉湖北省武汉市第二中学 朱九如

文1中提出了求解多元函数最值问题的10种方法，举例给出了其中的7种方法，读后深受启发，本文举例给出另外的几种求解方法.

一、减元法

根据转化与化归思想的理论，尝试将多元函数问题转化为我们熟悉的一元函数来处理，可通过换元、不等式放缩技巧、题中条件等式等途径实现.

1.通过换元减元

例1 设x，y∈R+，x+y=c，c为常数且c∈（0，2］，求u=）的最小值.

解析：

例2 设a，b∈R，a2+2b2=6，则a+b的最小值是________.

解析：因为a，b∈R，a2+2b2=6，所以令则，所以a+b的最小值是-3.

评注：换元法是指通过引入一个或几个新的变量，来替换原来的某些变量（或代数式），使问题得以解决的一种数学方法.在解题中，常常使用的换元法有两类，即代数换元和三角换元，我们可以根据具体问题及题目形式灵活选择换元的方法，以便将复杂的函数最值问题转化为简单的函数最值问题.在使用换元法时，要特别注意换元后新元的取值范围.

2.通过放缩减元

解析：于是当且仅当时，等号成立.

评注：本题利用三角函数中正、余弦值的有界性，选取适当的不等式进行放缩使得问题得以解决.

3.利用条件减元

例4设x，y为实数，已知5x2+4y2=10x，则4（x2+y2）的最大值为_________.

解析：已知5x2+4y2=10x，可得4y2=10x-5x2≥0，所以0≤x≤2.

所以4（x2+y2）=10x-x2=25-（5-x）2≤25-32=16⇒x2+y2≤4.

评注：本题根据题中的关系式将二元函数转化为我们熟悉的一元函数，利用配方法将问题解决.本题中消去变量y比较方便，不过要注意变量x的取值范围.

二、判别式法

如果通过代换及题中关系等式可得到一个关于某个变量的一元二次方程，则利用二次方程有解判别式非负可以将问题解决.

例5已知a，b，c满足a+b+c=0，a2+b2+c2=1，则a的最大值是________.

解析：将c=-（a+b）代入a2+b2+c2=1，得2b2+2ab+2a2-1=0.此关于b的方程有实数解，则Δ=（2a）2-8（2a2-1）≥0，整理得即，所以a的最大值是

评注：将两个已知条件中的a消去，整理成关于b的一元二次方程，由于方程有实数解，判别式恒大于或等于0，得到关于a的不等式，求解后即得a的最大值.

三、分类讨论法

例6 若实数x，y满足x2+y2≤1，则|2x+y-2|+|6-x-3y|的最小值是_______.

图1

解析：x2+y2≤1表示圆x2+y2=1及其内部，易得直线6-x-3y与圆相离，故|6-x-3y|=6-x-3y，当2x+y-2≥0时，|2x+y-2|+|6-x-3y|=x-2y+4，如图1所示，可行域为小的弓形内部，目标函数z=x-2y+4，可知，当时，zmin=3. 当2x+y-2＜0时，|2x+y-2|+|6-x-3y|=8-3x-4y，可行域为大的弓形内部，目标函数z=8-3x-4y，同理可知，当时，z=3.综上所述，|2x+y-2|+|6-x-3y|的最min小值是3.

评注：本题根据可行域是圆及其内部的特点，结合直线与圆的位置关系的判定，首先可以将目标函数中的两个绝对值号去掉一个，再利用分类讨论的数学思想去掉一个绝对值号，利用线性规划知识求解.

例7（2005年全国高中数学联赛福建赛区预赛）设a、b、c是正整数，关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实根的绝对值均小于，求a+b+c的最小值.

解析：设方程的两个实根为x1、x2，由韦达定理知x1＜0，x2＜0.

（1）当b=7时，由4a≤4ac≤b2及a≥11，知a=11或12，c=1.

由于方程11x2+7x+1=0有根不合题意；方程12x2+7x+1=0的两根为，也不合题意.

（2）当b=8时，由4ac≤b2=64及a≥11，知a=11，12，13，14，15，16，c=1.

而f（15）=0，因此，a只能为16. 此时，a+b+c=25，而16x2+8x+1=0的两根为满足题意.

若a+b+c＜25，则只能是a=14，b=9，c=1.此时，方程14x2+9x+1=0的两根为，不合题意.故a+b+c≥25.

综上，a+b+c的最小值为25.

评注：对于离散型条件最值，求解时常常对离散变量进行分类讨论，采用穷举的方法确定最值.

1.范东晖.分类例谈多元函数最值问题求解策略［J］.中学数学（上），2017（10）.