高中数学解题中函数与方程思想的实例探究

摘 要：高中数学的一个主要板块就是函数与方程，并且函数与方程穿插在高中数学知识的各个方面，所以函数与方程思想在高中数学解题中至关重要。函数与方程思想在高中数学解题中的应用有不等式求解、零点求解和方程根个数求解等多个方面。文章首先简要介绍了函数与方程思想的含义，然后通过函数与方程在解题中几个方面的应用来展现函数与方程思想在实例中的解题思路。

关键词：高中数学；函数与方程；思想；解题

一、 函数与方程思想的含义

函数与方程是两个概念，它们之间又存在着联系，所以在解题过程中我们要将函数思想和方程思想结合起来，这样才能让解题变得更加容易、简便。解题过程中我们要将极值、不等式、求解方程和求解參数取值范围等问题转化成有关的函数问题或构建方程和方程组，从而简化解题思路，把问题简单化达到更好的解题效果。

（一） 函数思想

简要来说，函数思想是从变化和运动的角度解题，主要是分析和探求数学中的数量关系，利用函数思想解题过程中对于方程和不等式等数学问题，我们要通过构建函数和函数关系，并利用函数图像和性质来解决数学问题。可以说解决函数问题是以函数思想为基础的。

（二） 方程思想

方程思想主要应用于已知和未知间的等量关系的数学问题，利用方程思想解题过程中对于变量直观关系等数学问题，我们首先要构建方程和方程组，然后结合方程的性质来解题。我们要想熟练地利用方程思想解决数学问题，首先要深刻地理解方程的概念。

二、 高中数学解题中函数与方程思想的实例

（一） 函数与方程思想在不等式求解中的应用

不等式应用非常广泛，在选择题和应用题中都经常考查，且经常综合其他数学知识来考查学生，函数与方程思想在不等式求解类似问题中常常是解题的关键。利用函数的图像和性质解决含有参数的不等式求解等问题，例如我们在面对直接求解不等式的问题时，我们可以利用函数的图像和性质将问题简化，将不等式的右边化为零，而将不等式的左边化为函数，这样问题就会变得简单许多。利用函数的单调性和有界性会很容易地解决不等式求最值的问题。

例题：求证：任意实数x，y，z∈（0，1），在x（1-y）+y（1-z）+z（1-x）<1中成立。

解析：假设x为主元，y，z为参数，构造函数f（x）=（1-y-z）x+y（1-z）+z

可得：

如果1-y-z=0时，则f（x）=y-z+z

如果1-y-z≠0时，f（x）为一次函数，且在区间（0，1）单调，

∴f（0）=y（1-z）+z=y（1-z）+（z-1）+1=（1-z）（y-1）-1<1

得：f（1）=1-yz<1

∴f（x）于（0，1）区间始终有f（x）<1

即，x（1-y）+y（1-z）+z（1-x）<1

例题中运用函数与方程思想构建函数f（x），将题目转化为函数问题，通过函数进行假设来解决题目所给出的问题。

（二） 函数与方程思想在零点求解中的应用

零点求解也是在考试中经常出现的考题，我们通常会利用函数与方程思想解决零点求解问题。对于零点求解的题目有的时候题目通常会给出函数，这就不需要我们再重新构建函数，然后题目定义该函数在某区间内有n个零点，让学生求取区间范围，或让学生求取函数在该区间内有几个零点。在解题过程中我们可以利用函数的图象和性质，首先通过题目所给出的条件做出函数图象，然后如果是选择或填空题有助于学生可以直观地找出题目的答案，如果是简答或应用题也可以为学生提供一个清晰的解题思路。

（三） 函数与方程思想在方程根个数求解中的应用

方程根个数求解过程中结合函数与方程思想，通常首先根据函数图象中函数与x轴交点的个数确定方程根的个数，然后再根据题目要求具体作答。

例题：x2=2x方程解的个数

解析：首先我们要画出函数f（x）=x2-2x的函数图象（如图1），然后根据函数的图象不难看出，函数和x轴共有3个交点，因此x2-2x方程解的个数为3个。

（四） 函数与方程思想在方程数列求解中的应用

数列即按一定的次序排列的一列数，结合函数与方程思想，我可以将一个数列看作一个函数，而这个函数的定义域为正整数，数列的项即数列中的每一个数就是项数的函数，函数值对应数列自变量按一定次序的取值，函数的解析式对应数列的通项公式。所以，在实际的数列解题过程中，我们结合函数与方程思想将数列转化为函数，这样解题就会变得容易许多。

三、 高中数学解题中函数与方程思想总结

上面的内容简单介绍了函数与方程思想在高中数学中应用的几个方面，并对这几种类型的解题思路进行了简单的介绍，但我们在运用函数与方程思想解题的过程中仍要注意一下几个问题：第一，解题时要先考虑题目是否能够运用函数与方程思想来解答；第二，问题转化为函数比较困难时，可以考虑构建两个函数；第三，求方程的根时，要注意题目对根的要求，根的范围和正负等。

函数与方程思想在解题中只是一种理论指导，要想让学生熟练应用函数与方程思想，需要教师在教学中不但要让学生理解函数与方程思想的本质，还要让学生慢慢学会应用函数与方程思想解题。

参考文献：

[1]张新朝.数形结合思想对高中数学学习的作用[J].亚太教育，2015（20）：225.

[2]华鑫玮.对于高中数学学习兴趣培养的浅要认识[J].科技展望，2017（11）.

作者简介：

张会明，甘肃省酒泉市，金塔县中学。